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Sei x ∈ ℝ eine reelle Zahl und n > 1 eine natrüliche Zahl. Beweisen Sie , dass

(1+x+....+xn-1) (x-1) = xn-1


verwenden Sie diese Ergebnis, um die folgenden Summe geschlossen zu berechnen

S1 = 1+1/3 +1/9 +...+1/36

S2 = ∑ k=0n 1/2k

S3 = 1/5+1/25+...+1/54

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Beweisen Sie , dass (1+x+....+xn-1) (x-1) = xn-1

Das beweist man etwa, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert. Dabei ist

 (1+x+....+xn-1) ·x     =     x + x2 + x3 + ... +xn-1 + + xn und

(1+x+....+xn-1) ·(-1) = -1 - x - x2 - x3 - ... - xn-1.                     Wenn man das zusammenfasst,       ist x - x = 0, x2 - x2 = 0 und so weiter bis xn-1-xn-1 = 0. Dann bleibt xn-1übrig.

verwenden Sie diese Ergebnis, um die folgenden Summe geschlossen zu berechnen

Die Formel (1+x+....+xn-1) (x-1) = xn-1wird auf beiden Seiten durch x-1 geteilt. Dann entsteht (1+x+....+xn-1)= (xn-1)/ (x-1). Nehmen wir an es sei x = 1/3 und n = 7 . Dann wird aus dieser Formel 1+1/3 +1/9 +...+1/36= (1/37-1)/(1/3-1). Das kann man mit dem Tascherechner ausrechnen ( ≈1,499).

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