Beweise für reelle zahl

Question

Sei x ∈ ℝ eine reelle Zahl und n > 1 eine natrüliche Zahl. Beweisen Sie , dass

(1+x+....+x^n-1) (x-1) = xⁿ-1

verwenden Sie diese Ergebnis, um die folgenden Summe geschlossen zu berechnen

S₁ = 1+1/3 +1/9 +...+1/3⁶

S₂ = ∑ _k=0ⁿ 1/2^k

S₃ = 1/5+1/25+...+1/5⁴

Answer 1

Beweisen Sie , dass (1+x+....+x^n-1) (x-1) = xⁿ-1

Das beweist man etwa, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert. Dabei ist

 (1+x+....+x^n-1) ·x     =     x + x² + x³ + ... +x^n-1 + + xⁿ und

(1+x+....+x^n-1) ·(-1) = -1 - x - x² - x³ - ... - x^n-1.                     Wenn man das zusammenfasst,       ist x - x = 0, x² - x² = 0 und so weiter bis x^n-1-x^n-1 = 0. Dann bleibt xⁿ-1übrig.

verwenden Sie diese Ergebnis, um die folgenden Summe geschlossen zu berechnen

Die Formel (1+x+....+x^n-1) (x-1) = xⁿ-1wird auf beiden Seiten durch x-1 geteilt. Dann entsteht (1+x+....+x^n-1)= (xⁿ-1)/ (x-1). Nehmen wir an es sei x = 1/3 und n = 7 . Dann wird aus dieser Formel 1+1/3 +1/9 +...+1/3⁶= (1/3⁷-1)/(1/3-1). Das kann man mit dem Tascherechner ausrechnen ( ≈1,499).