Lösen mit Trennung der Variablen

Question

ich habe eine Aufgabe bei der ich das Anfangswertproblem durch Trennung der Variablen lösen soll.

$$x'\quad =\quad \frac { x\quad -\quad t\quad -\quad t{ e }^{ -\frac { x }{ t }  } }{ t } $$

Allerdings kriege ich die Variablen nicht getrennt.

Mein Ansatz war das t jeweils aufzulösen:

$$x'\quad =\quad \frac { x }{ t } \quad -\quad 1\quad -\quad { e }^{ -\frac { x }{ t }  }$$

Dann kann ich noch das e aufteilen, aber leider komm ich nicht weiter, sodass alle x auf der einen und alle t auf der anderen Seite sind.

Danke

Answer 1

Du mußt zuerst die DGL mit Substitution lösen

z= x/t

x=z *t

x '= z' t +z

dann das Ganze in die DGL einsetzen :

z 't +z= z -1 -e^{-z}

z 't = -1 -e^{-z}

jetzt kannst Du Trennung der Variablen machen.

zum Schluß dann noch resubstituieren.

Comments

Vielen Dank, auf Substitution wäre ich niemals gekommen!

Allerdings habe ich eine Frage dazu, wie sie auf x' = z't + z gekommen sind?

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durch die Produktregel

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Ahja alles klar, dann hab ichs jetzt.

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Hallo Grosserloewe,

ich hatte die Aufgabe bearbeitet und mit Wolfram Alpha abgeglichen und leider komme ich nicht zum richtigen Ergebnis, vielleicht könntest du mir nochmal weiterhelfen?!

Ich setze das also in die DGL ein und dann kommt das raus:

z't = -1 - e^-z 

Nach umformen:

$$\frac { 1 }{ -1-{ e }^{ -z } } dz\quad =\quad \frac { 1 }{ t } dt$$

Dann integriere ich beide Seiten und komme auf folgendes Ergebnis:

-  ln(e^z + 1) = ln(t) + C

Nun löse ich nach z auf:

ln(e^z + 1) = - ln(t) - C

e^z +1 = e^{-ln(t) - C} 

e^z = e^{-ln(t) -C} -1

$${ e }^{ z }=\frac { { e }^{ -C } }{ t } -1$$

$$z=ln(\frac { { e }^{ -C } }{ t } -1)$$

Das wäre meine Lösung für z

Wolfram Alpha sagt aber: $$z=ln(\frac { C }{ t } -1)$$

Leider finde ich meinen Fehler nicht.

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Hallo Mathestudentin,

Deine Integrale sind falsch.

Grüße,

M.B.

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Danke für die schnelle Antwort.

Ich hab die Integrale mit drei verschiedenen Integralrechnern abgeglichen, die alle das Gleiche sagen. Deswegen wüsste ich nicht, wie sie sonst lauten sollen

Liebe Grüße

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Hallo Mathestudentin,

wie schön, dass es Integralrechner gibt, das erspart das eigene Denken.

Aber konkreter: Deine Integralrechnungen sind falsch.

Grüße,

M.B.

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ich klinke mich mal hier ein.

Ich bearbeite dieselbe Aufgabe und habe auch dasselbe Ergebnis raus.

Wenn die Integrale falsch sind, dann muss es an der Umformung vorher liegen. Oder an der Integralrechnung, wie du sagst.

Könntest du denn die Zeile nennen, wo der Fehler ist ?

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Hallo Mathestudentinnen,

ich habe noch einmal genau nachgerechnet; Lösung ist

$$ {y \over x} = z  = \ln \left({C_0 \over x}-1 \right)$$

$$ C_0 = \left(\exp\left(y_0 \over x_0\right)+1\right)x_0 $$

Dein (linkes) Integral ist also richtig, aber trotzdem nicht geschickt hingeschrieben, denn so wie es dasteht, hast Du es sicher nicht selbst berechnet.

Es fehlen bei Deiner Rechnung trotzdem (wie immer bei der Unterschichtenmathematik) die konstanten Lösungen.

Und wenn Du Dein Integral so berechnen würdest, wie es sich gehört, anstatt Unterschichtenmathematik zu betreiben, hättest Du Deinen Fehler auch sofort erkannt. Dein \( \exp(-C) \) ist eine Konstante, und die nennt Wolfram (hier falsch) auch \( C \), obwohl sie nicht identisch sind, und bei Wolfram eigentlich \( D \) stehen sollte, mit \( D = \exp(-C) \).

Grüße,

M.B.

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Sorry , ich bin einer , der noch arbeitet  , deswegen die Antwort erst jetzt.

Ich habe das ab der Zeile mit den beiden Integralen mal berechnet:

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Vielen Dank an Grosserloewe und MatheMB, ihr habt mir sehr geholfen!