Komplizierte Ungleichung: 1/√(x) + 1/√(x+1) < 1/(x-1)

Question

im Vorfeld der nächsten Runde der Mathe Olympiade, wollte ich etwas üben. Im Moment sitze ich bei einer Aufgabe fest, die ich einfach nicht lösen kann. Diese Aufgabe stammt aus der 1. Runde der Matheolympiade 1994.
Ich sitze schon sehr lange an der Aufgabe und hab auch schon vieles ausprobiert - nur erfolglos.
Kann mir jemand vielleicht einen Ansatz geben, wie man diese Ungleichung lösen könnte.

Aufgabe:
Man ermittle alle reellen Zahlen für x, die diese Ungleichung erfüllen:

1x+1x+1<1x−1 Fehler!  EDIT: Bild aus Kommentar eingefügt. 


Einfach quadrieren und nach x auflösen, klappt nicht so einfach bei mir. Hab auch bereits ausprobiert die Brüche aufzulösen und dann nach x aufzulösen, hat aber auch nicht geklappt. Auf den Hauptnenner bringen, nützt irgendwie auch nichts Wie sollte man an so einer Aufgabe vorgehen?

Hier noch der Link zur Aufgabe:
http://www.olympiade-mathematik.de/pdf/block_a/34121_a.pdf (Letzte Aufgabe)



Ergänzung: ich habe die Funktion der linken und der rechten Seite jeweils in mein grapfikfährigen Taschenrechner eingegeben. Anhand der Graphen ist die Ungleichung wohl bei 1<x<1.73 lösbar. (Vielleicht hilft das einem weiter)

Comments

EDIT: Habe die Ungleichung (Bild) oben eingefügt. 

Da Wurzeln nicht negativ sind, ist die linke Seite der Ungleichung nie negativ, ja sogar zwingend positiv (Summe von 2 nichtneg. Zahlen).

==> x-1 > 0. Also gilt schon mal x > 1 und man kann mit dem Hauptnenner multiplizieren ohne, dass sich das Ungleichheitszeichen dreht.

Was hast du dann?

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also, das x größer 1 ist, ist mir auch aufgefallen. Was meinst du mit hauptnenner multiplizieren. ich habe bereits versucht die brüche auf ein hauptnenner zu bringen, habe auch versucht die brüche aufzulösen, nur kam ich nie weiter, da mir das nicht viel gebracht hat, da ich weiterhin eine Gleichung habe, die ich nicht lösen kann.
Hast du vielleicht eine weitere Idee? ich sitz schon ziemlich lange dran und verzweifle gerade, und kann es einfach nicht glauben, dass das so schwer sein sollte.

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" mit hauptnenner multiplizieren. "

Prinzip:    (alle Nenner pos.) 

1/a  + 1/b < 1/c        |*abc

bc + ac = ab

Natürlich sind hier dann die Wurzeln nicht weg, aber wenigstens hast du keine Brüche mehr. 

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wüsstest du wie man dann weiter vorgehen sollte. Ich hab dann folgende Gleichung:

$$ (x-1)\cdot \sqrt { x+1 } +(x-1)\cdot \sqrt { x } <\sqrt { x } \cdot \sqrt { x+1 } $$

Wie sollte ich dann weiter vorgehen?

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wäre Substitution eine Möglichkeit? Nur würde das gehen?

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Zum lösen von Wurzelgleichungen gibt es zwei Schritte

1. Wurzel isolieren

2. Wurzel eliminieren

Wenn man das fleißig macht kommt man auf die Gleichung

4·x^5 - 4·x^4 - 4·x^3 - 5·x^2 + 6·x - 1 = 0

Hier bekommt man aber nur eine Näherungslösung

x = 0.5388357386 ∨ x = 0.2111344930 ∨ x = 1.732826115

Da der Definitionsbereich x > 1 war schaut man die Intervalle an und sieht das die Lösung

1 < x < 1.732826115

gelten sollte.

Was mich etwas wundert ist das in der Aufgabe steht alle reellen Zahlen. Ist das verträglich mit einer Näherungslösung?