Funktionenschar fa(x)=(4x+a)*e^{-x/a}. e-Funktion & Wendetangente

Question

Hi, zu folgender Funktionsschar hab ich eine Frage:

fa(x) = (4·x + a)·e^{- x/a}

1. Zeige, dass die Wendetangente an der Wendestelle xw = (7/4) · a aller Scharkurven parallel zueinander sind. 

2. Bestimme den Parameter a so, dass die Normale im Wendepunkt die y-Achse bei -2 schneidet und gib die Gleichung dieser Normalen an.

Wäre dankbar für jede Antwort.

Answer 1

Achtung: Dies soll keine abschreibefertige Lösung sein. Diese Hilfe beinhaltet nur die wesentlichen Ansätze die zur Lösung führen sowie ungeprüfte Lösungen. Die vollständigen Rechnungen sind vom Fragesteller durchzuführen.

fa(x) = (4·x + a)·e^{- x/a}
fa'(x) = e^{- x/a}·(3 - 4·x/a)
fa''(x) = e^{- x/a}·(4·x/a^2 - 7/a)

xw = 7/4·a

1)

fa'(xw) = - 4·e^{- 7/4} = -0.6950957738 --> Das ist konstant und damit sind die Wendetangenten parallel.

2)

fa(xw) = (4·x + a)·e^{- x/a} = 8·a·e^{- 7/4}

t(x) = 1/(4·e^{- 7/4})*(x - 7/4·a) + 8·a·e^{- 7/4} = e^{7/4}/4·x + 8·a/e^{7/4} - 7·a·e^{7/4}/16

Y-Achsenabschnitt soll 2 sein

8·a/e^{7/4} - 7·a·e^{7/4}/16 = 2
a = 32·e^{7/4}/(128 - 7·e^{7/2}) = -1.773919112

Comments

Vielen Dank für die Antwort, sie war sehr hilfreich! 

Die erste Aufgabe hab ich komplett verstanden, bei der zweiten hätt ich nur noch eine Frage:

bei t(x) steht ja  folgendes: 1/(4·e^{- 7/4})*(x - 7/4·a) + 8·a·e^{- 7/4}  . Ich verstehe jetzt nicht, wieso die 7/4a vom x abgezogen werden. Die Formel lautet ja y=mx+b

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Man kann die Punkte Steigungsform nehmen

t(x) = a*(x - Px) + Py

Dabei ist a die Steigung. Und P(Px | Py) ist ein bekannter Punkt. Hier der Wendepunkt.