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Aufgabe:

Gegeben ist die Schar fa(x)=\( e^{2x} \) - \( a*e^{x} \).
Bestimmen Sie für jedes a>0 die Gleichung der Wendetangente.


So sieht mein Ansatz aus:

fa´(x)=\( 2e^{2x} \) - \( a*e^{x} \)
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Jetzt weiß ich aber echt nicht weiter, wie ich nach n auflösen soll.

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Hallo,

Hinweis:

Du hast die Wendestelle richtig mit \(\ln(\frac{a}{4})\) berechnet, aber dann den Funktionswert falsch.

Es gilt: \(f(\ln(\frac{a}{4}))=\boxed{-\frac{3}{16}}\cdot a^2\).

Ansonsten alles ok, das \(n\) hängt eben auch vom Parameter \(a\) ab. Du musst einfach umstellen.

$$-\frac{3}{16}a^2 =-\frac{a^2}{8}\cdot \ln \left(\frac{a}{4}\right)+n $$$$n=-\frac{3}{16}a^2+\frac{a^2}{8}\cdot \ln \left(\frac{a}{4}\right)$$$$n=a^2\left(-\frac{3}{16}+\frac{1}{8}\cdot \ln \left(\frac{a}{4}\right)\right)$$ Man kann das natürlich noch etwas vereinfachen. Aber das sollte vorerst ausreichen. Insgesamt hast du dann:$$t_w(x)=-\frac{a^2}{8}x+a^2\left(-\frac{3}{16}+\frac{1}{8}\cdot \ln \left(\frac{a}{4}\right)\right)$$ (auch leichter schreibbar)


Ich lasse in dieser Animation \(a\) zwischen \((0,7]\) laufen.

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Kannst du vielleicht mit einzelnen Rechenschritten zeigen wie du auf das Ergebnis kommst?

Klar, mache ich. Du hast ja schon ordentlich Vorarbeit geleistet. Mir ist aber ein Fehler aufgefallen. Du hast die Wendestelle richtig mit \(\ln(\frac{a}{4})\) berechnet, aber dann den Funktionswert falsch.

Es gilt: \(f(\ln(\frac{a}{4}))=\boxed{-\frac{3}{16}}\cdot a^2\). Guck dir in 5 min meine Antwort nochmal an.

Oh stimmt, da konnte ich meine eigene Schrift nicht mehr lesen :).
Es ist für mich nur ziemlich ungewohnt, dass eine Funktion so eine komplizierte Variable besitzt.
Deswegen dachte ich ich könnte da irgendwie besser kürzen.
Trotzdem vielen Dank für die nachvollziehbare Antwort.

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