Bestimmen Sie für jedes a>0 die Gleichung der Wendetangente von fa(x).

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Schar fa(x)=\( e^{2x} \) - \( a*e^{x} \).
Bestimmen Sie für jedes a>0 die Gleichung der Wendetangente.

So sieht mein Ansatz aus:

fa´(x)=\( 2e^{2x} \) - \( a*e^{x} \)

Jetzt weiß ich aber echt nicht weiter, wie ich nach n auflösen soll.

Answer 1

Hallo,

Hinweis:

Du hast die Wendestelle richtig mit \(\ln(\frac{a}{4})\) berechnet, aber dann den Funktionswert falsch.

Es gilt: \(f(\ln(\frac{a}{4}))=\boxed{-\frac{3}{16}}\cdot a^2\).

Ansonsten alles ok, das \(n\) hängt eben auch vom Parameter \(a\) ab. Du musst einfach umstellen.

$$-\frac{3}{16}a^2 =-\frac{a^2}{8}\cdot \ln \left(\frac{a}{4}\right)+n $$$$n=-\frac{3}{16}a^2+\frac{a^2}{8}\cdot \ln \left(\frac{a}{4}\right)$$$$n=a^2\left(-\frac{3}{16}+\frac{1}{8}\cdot \ln \left(\frac{a}{4}\right)\right)$$ Man kann das natürlich noch etwas vereinfachen. Aber das sollte vorerst ausreichen. Insgesamt hast du dann:$$t_w(x)=-\frac{a^2}{8}x+a^2\left(-\frac{3}{16}+\frac{1}{8}\cdot \ln \left(\frac{a}{4}\right)\right)$$ (auch leichter schreibbar)

https://www.desmos.com/calculator/hqcu5lmqoz

Ich lasse in dieser Animation \(a\) zwischen \((0,7]\) laufen.

Comments

Kannst du vielleicht mit einzelnen Rechenschritten zeigen wie du auf das Ergebnis kommst?

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Klar, mache ich. Du hast ja schon ordentlich Vorarbeit geleistet. Mir ist aber ein Fehler aufgefallen. Du hast die Wendestelle richtig mit \(\ln(\frac{a}{4})\) berechnet, aber dann den Funktionswert falsch.

Es gilt: \(f(\ln(\frac{a}{4}))=\boxed{-\frac{3}{16}}\cdot a^2\). Guck dir in 5 min meine Antwort nochmal an.

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Oh stimmt, da konnte ich meine eigene Schrift nicht mehr lesen :).
Es ist für mich nur ziemlich ungewohnt, dass eine Funktion so eine komplizierte Variable besitzt.
Deswegen dachte ich ich könnte da irgendwie besser kürzen.
Trotzdem vielen Dank für die nachvollziehbare Antwort.