0 Daumen
629 Aufrufe

Ich versuche schon länger etwas gelesenes zu verstehen, was (wie im Text dazu steht) nach der jensen-ungleichung logisch sein soll:

$$E({ \sigma  }^{ 4 })\ge { E({ \sigma  }^{ 2 }) }^{ 2 }$$

vereinfacht gesagt bedeutet dies ja, wie ich glaube, der erwatungswert der Wölbung ist größer/gleich der quadrierten varianz. meine frage ist kann man dies irgendwie nach der jensen-ungleichung herleiten sodass man es nachvollziehen kann??

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Ich denke mal, dass hier gilt: $$\sigma=X-\mathbb EX?$$

Die Quadratfunktion ist konvex, und ich weiß nicht, welche Version der Jensen-Ungleichung du dir angeschaut hast, aber die für konvexe Funktionen und Erwartungswerte lautet sie:

$$\mathbb E[f(X)]\geq f(\mathbb EX)$$

$$\text{Für }f(X)=X^2\text{ ist das}\colon$$

$$\mathbb E[X^2]\geq (\mathbb EX)^2$$

Soweit klar (das ist ja der Grund, wieso die Varianz nie negativ wird).

Man kann aber hier genausogut auch (X-EX)^2 einsetzen, da X-EX nur eine Verschiebung um eine Konstante ist und das Quadrat einer Zufallsvariablen wieder eine Zufallsvariable ist. Deshalb:

$$\mathbb E[((X-\mathbb EX)^2)^2]=\mathbb E[(X-\mathbb EX)^4]\geq \mathbb E[(X-\mathbb EX)^2]^2$$

Und in deiner Schreibweise:

$$\mathbb E[\sigma^4]\geq \mathbb E[\sigma^2]^2$$

Avatar von 1,0 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community