Question

Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie: (a) f(eG) = eH, wobei eG und eH die neutralen Elemente in G und H bezeichnen. (b) f(x−1) = f(x)−1 für alle x ∈ G. (c) Ist f bijektiv, dann ist auch f−1 ein Gruppenhomomorphismus.

Answer 1

Hallo yodajedi,

Homomorphismus f:   f(a * b) = f(a) • f(b)   

Sei f : G → H  ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

(a)  f(e_G) = e_H ,  wobei e_G und e_H  die neutralen Elemente in G und H bezeichnen.

        Sei g∈G, dann gilt:

        f(g) = f(g * e_G) = f(g) • f(e_G)  

                           →  f(e_G)  ist  das neutrale Element e_H von  H

 (b) f (x^-1)  = f(x)^-1  für alle x ∈ G. 

       Für die inversen Elemente gilt dann:

       e_H =_a)  f(e_G) =  f( x * x^-1 )  =  f(x) • f (x^-1)   

                           →    f (x^-1)  ist das Inverse von f(x) 

 (c) Ist f bijektiv, dann ist auch f ^-1  ein Gruppenhomomorphismus. 

       zu zeigen:       f ^-1 (a * b) =  f ^-1(a) •  f ^-1(b) )     für alle a,b ∈ H

       Man muss es eigentlich nur zusammenschreiben:

       Seien also   a,b ∈ H   und   u = f ^-1(a) ∈ G  und  v = f ^-1(b) ∈ G 

              →    f(u) = a  und f(v) = b

              →   f ^-1(a • b)  = f ^-1( f(u) • f(v) ) = f ^-1( f(u * v) )  = u * v  = f ^-1(a) * f ^-1(b)

         Gruß Wolfgang