Die Angabe lautet: Berechne die Taylorreihe zu f in a und bestimme den Konvergenzradius. (i) f(x) = cos(x), a=1 (ii) f(x) = log(x), a=2 (iii) f(x) = log(cos(x)), a=0 zu (iii) habe ich die Taylorreihe wie folgend berechnet: $$ f'(x)\quad =\quad \frac { sin(x) }{ cos(x) } $$$$ f''(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } $$$$ f'''(x)\quad =\quad 2*\frac { sin(x) }{ cos(x) } $$$$ { f }^{ (4) }\quad =\quad 2*\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } \quad usw. $$$$ { f }^{ (n) }\quad =\quad \begin{cases} \frac { sin(x) }{ cos(x) } { 2 }^{ (n-1) } & für\quad n\quad ungerade \\ \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } { 2 }^{ \left( \frac { n }{ 2 } -1 \right) } & für\quad n\quad gerade \end{cases} $$Dann sieht die Taylorreihe so aus:$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { a }_{ n } }{ n! } { \left( x-1 \right) }^{ n } } $$$$ { a }_{ n }\quad =\quad \begin{cases} \frac { sin(x) }{ cos(x) } *{ 2 }^{ (n-1) } & für\quad n\quad ungerade \\ \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } *{ 2 }^{ \left( \frac { n }{ 2 } -1 \right) } & für\quad n\quad gerade \end{cases} $$Stimmt das soweit? Wie kann ich den Konvergenzradius berechnen? Schritt für Schritt bitte!
