Ableitung der Funktion f'(x) = 1x·√x + x·(1/2·x^{-1/2}) mit Produktregel

Question

Könnte mir bitte jemand diese Funktion ableiten:

\( f'(x) = 1x·\sqrt{x} + x·\left(\frac{1}{2}·x^{-\frac{1}{2}} \right) \)

Answer 1

Falls die Funktion so lautet:

Answer 2

$$f'(x)=1x\sqrt x+x\left(\frac12x^{-\frac12}\right)=x^\frac32+\frac12x^\frac12.$$

Diese Umformung gilt nach der Produktregel für Potenzen ("Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis anschreibt und die Exponenten addiert"). Dann ist die zweite Ableitung:

$$f''(x)=\frac32x^\frac12+\frac12\cdot\frac12x^{-\frac12}=\frac{3\sqrt x}2+\frac1{4\sqrt x}=\frac{6x+1}{4\sqrt x}.$$

Dafür braucht man nur die Ableitungsregel für Potenzen von \(x\) (Monome: \((x^n)'=nx^{n-1}\)) und die Regel, dass die Ableitung linear ist (Summe und Faktoren kann man durchziehen).

Ist die ursprüngliche Funktion \(f\) wirklich \(f(x)=\frac25 x^2\sqrt x+\frac13x\sqrt x\)?

Ansonsten hast du einen Ableitungsfehler in \(f'(x).\)