Komplexe Wurzeln - Polarkoordinatendarstellung

Question

Hallo allerseits!

Ich habe 3 Aufgabenstellungen, und zwar

1.) w= (1-i)√2 Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahl berechnen. Wie viele Elemente hat die Menge {w^k +w | k∈ℤ}? Diese Menge in der komplexen Zahlenebene skizzieren.

2.) Das Polynom x³ -2 ∈ Pol ℂ in ein Produkt von Linearfaktoren

3.) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z^4 -4z² +4 =-4

Ich weiß es ist viel, aber ich hoffe trotzdem das ihr mir weiter helfen könnt! :)

Schon einmal

Answer 1

alle komplexen Lösungen der Gleichung z⁴ -4z² +4 =-4

Substitution     z² - 4z + 8 = 0

z =  2  ±√ (4 - 8)  also

z =  2+2i    oder   z = 2 -2i  

Jeweils die Wurzel gibt

√( 1 +i√2) + i*√( -1 +√2)  oder   - √( 1 +i√2) - i*√( -1 +√2)

oder  √( 1 +i√2) - i*√( -1 +√2)  oder   - √( 1 +i√2) + i*√( -1 +√2).

Comments

Vielen Dank für ihre Hilfe!

Die erste Aufgabe hab ich mittlerweile gelöst. Könnten Sie mir eventuell auch bei der zweiten Aufgabe helfen?

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x³ -2 = 0    hat jedenfalls die Lösung  x = 3.Wurzel aus 2 also   2 ^1/3 .

Dividieren gibt  (x³ -2) : ( x -  2 ^1/3 ) = x² + 2^1/3 *x + 2 ^2/3

             gleich 0 setzen gibt  x  =  -2 -2/3  ±  21/3 *√(1-2^-2 ) * i

also  ( x -  2 ^1/3 ) ( x + 2 ^-2/3  +   2^1/3 *√(1-2^-2 ) * i ) * ( x + 2 ^-2/3  -   2^1/3 *√(1-2^-2 ) * i )

=  ( x -  2 ^1/3 ) ( x + 2 ^-2/3  +   2^1/3 *√(3/4 ) * i ) * ( x + 2 ^-2/3  -   2^1/3 *√(3/4 ) * i )

=  ( x -  2 ^1/3 ) ( x + 2 ^-2/3  +   2^-2/3 *√3 * i ) * ( x + 2 ^-2/3  -   2^-2/3 *√3 * i )

Answer 2

Aufgabe 3)

                           

Answer 3

Was hast du denn bei 1) gerechnet?