Wie Beweis für Monotonie beenden? (2n+1)/(2n-1)

Question

Ich habe die Folge

(2n + 1) / (2n - 1)

und anhand von eingesetzten Werten erkenne ich, dass die Werte immer weiter fallen, also lautet meine Behauptung:

f(n + 1) - f(n) < 0

Beweis:

(2(n + 1) + 1) / (2(n + 1) -1)  -  (2n + 1) / (2n + 1) < 0

Nachdem ich Klammern auflöse und die Werte in den einzelnen Brüchen zusammenfasse, möchte ich den Zähler links mit dem Nenner rechts und den Zähler rechts mit dem Nenner links multiplizieren:

((2n + 3)(2n - 1)) - ((2n + 1)(2n + 1)) / (2n + 1 -2n - 1) < 0

Alles zusammengefasst habe ich dann raus:
(8n - 1) / 0 < 0

Aber wie geht es jetzt weiter? Wie beweise ich denn jetzt, dass es immer kleiner wird?

Answer 1

an+1 < an

(2·(n+1) + 1)/(2·(n+1) - 1) < (2·n + 1)/(2·n - 1)

(2·n + 3)/(2·n + 1) < (2·n + 1)/(2·n - 1)

(2·n + 3)(2·n - 1) < (2·n + 1)(2·n + 1)

4·n^2 + 4·n - 3 < 4·n^2 + 4·n + 1

- 3 < 1

Ist richtig und damit ist die Folge streng monoton fallend.

Comments

Zum Verständnis: Angenommen der Endwert links (-3) wäre eine größere Zahl als 1 (z.B. 2, 3 oder 4), dann wäre meine Behauptung widerlegt?

Muss der Wert rechts immer 1 sein oder ist das egal, solange der links Wert kleiner ist (für diese Behauptung)?

Answer 2

$$ { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=\frac { 2n+3 }{ 2n+1 }-\frac { 2n+1 }{ 2n-1 }\\=-\frac { 4 }{ (2n-1)(2n+1) }<0 $$