Bestimmen Sie eine Basis von Kern und Bild einer linearen Abbildung f : V ---> W

Question

f : V → W ist eine lineare Abbildung. V hat die lineare Hülle (1,0 ; 0,0) , (0,1 ; 0,0) , (0,0 ; 0,1)

W lineare Hülle := (1,0 ; 0,1) , (0,1 ; 1,0 )

f ist definiert mit f ( (x,y ; 0,z) ) = ( x+y , z ; z , x+y )

-------------------------

basis Kern(f)

f ( (x,y ; 0,z) ) = 0 ↔ ( x+y , z ; z , x+y ) = 0

(1 , 1 , 0, 0                                         (0

0 , 0 , 0 , 1      *  x mit (x,y,0,z)  =      0

0 , 0 , 0 , 1                                           0

1 , 1 , 0 , 0)                                         0)

----> Rang 2 und mit der Lösungsmenge von Ax=0

habe ich die zwei Matrizen (1 , -1 ; 0 , 0 ) und (0 , 0 ; -1 , 0) als Basis kann das stimmen??

Basis Bild(f):

f (1,0 ; 0,0) = (1,0 ; 0,1) , f (0,1 ; 0,0) = (1,0 ; 0,1) , f (0,0 ; 0,0) = (0,0 ; 0,0)

f (0,0 ; 0,1) = (0,1 ; 1,0)

(1 , 0 , 0 , 1

 1  , 0 , 0 , 1

 0 , 0 , 0 ,  0

0 , 1 , 1 , 0)

---->

(1, 0 , 0 , 1

0 , 1 , 1 , 0

0 , 0 , 0 , 0

0 , 0 , 0 , 0)

dim(Bild(f)=2 und die basis ist (1,0 ; 0,1) und (0,1 ; 1,0) (2 linear unabhängige matrizen aus dem bild ohne die nullmatrix)

------------------------------

finde das irgendiwe scheiße...  stimmt das überhaupt ??

Comments

 x mit (x,y,0,z) soll untereinander stehen

---

ich meine ich finde den lösungsweg doof weil es ja matrizen sind und ich sie einfach zu einer matrix zusammengefasst habe das gefällt mir irgendwie nicht

Answer 1

"Normal" wäre ja der Ansatz:

$$ f( \begin{pmatrix}  x & y \\ 0 & z \end{pmatrix})= \begin{pmatrix}  0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$


also

$$  \begin{pmatrix}  x+y & z \\ z & x+y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}  0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

und das gibt das Gl.syst.

x  +  y             = 0
               z      =  0
              z      =   0
x+y                 = 0 


also in der Tat rang=2  und  weil es ja nur 3 Var gibt

eindimensionaler Lösungsraum =

{ (x;y;z) |   y = - x   ∧  z=0  }     =  { ( x  ;  - x  ;  0 }

also  besteht eine Basis des Kerns nur aus einem Vektor

bzw. einer Matrix   z.B

$$  \begin{pmatrix}  1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$


Dein 2. Basisvektor ist gar  nicht in V.