Beweisen Sie (direkt): Für alle n ∈ N ∗ gilt:

Question

Wie funktioniert der direkte Beweis am folgenden Beispiel?

$$a)\quad Für\quad alle\quad a,b∈ℤ\quad gilt:\quad (a*b)\quad mod\quad n=((a\quad mod\quad n)*(b\quad mod\quad n))\quad mod\quad n$$

Answer 1

Ersetze a und b durch $$ a=i\cdot n + r $$ $$ b=j \cdot n + s$$ und jetzt 'einfach' ausrechnen: $$  a \cdot b \equiv ijn^2 + n(is+jr) +rs  \equiv rs \mod n $$

und $$  a \equiv r \mod n $$ $$  b \equiv s \mod n $$ demnach ist

$$  (a \equiv r \mod n) \cdot (b \equiv s \mod n) \equiv rs \mod n$$

Gruß Werner