Vereinigung von 2 Untervektorräumen ist ein Untervektorraum

Question

Sei V ein Vektorraum über K. Seien U₁ und U₂ zwei Untervektorräume von V. Zu zeigen: U₁ ∪ U₂ ist genau dann ein Untervektorraum von V, falls U₁ ⊆ U₂ oder U₂ ⊆ U₁.

Answer 1

wenn das keine Teilmengen voneinander sind, nimmst du einen aus U1,

der nicht in U2 ist und einen aus U2, der nicht in U1.

Die Summe ist weder in U1 noch in U2, also ist die Vereinigung kein Vektorraum.Rückrichtung:  Wenn eine Teilmengenbez. gilt, dann ist die

Vereinigung der "größere" der beiden Unterräume, also ein Unterraum.

Comments

Die Rückrichtung habe ich verstanden, also so:

U₁ ⊆ U₂ ⇒ U₁ ∪ U₂ = U₂ ist Untervektorraum   U₂ ⊆ U₁ ⇒ U₁ ∪ U₂ = U₁ ist Untervektorraum   Der erste Teil: ( U₁ ∪ U₂ ) ist Untervektorraum, daher gilt ∀x,y ∈ ( U₁ ∪ U₂ ) : x+y ∈ ( U₁ ∪ U₂ )  ∃x,y ∈ ( U₁ ∪ U₂ ) mit x ∈ U₁ ∧ x ∉ U₂ ∧ y ∈ U₂ ∧ y ∉ U₁   daraus folgt x+y ∉ U₁ und x+y ∉ U₂  daraus folgt U₁, U₂ keine Untervektorräume, das ist aber ein Widerspruch zur Angabe mit U₁, U₂ sind Untervektorräumedaraus folgt ∀ x+y ∈ ( U₁ ∪ U₂ ) : x+y ∈ U₁ oder x+y U₂daraus folgt U₁ ⊆ U₂ oder U₂ ⊆ U₁