Aussagen überprüfen. Beispiel: Die Menge der rationalen Zahlen ist in der Menge der reellen Zahlen enthalten.

Question

Welchen mathematischen Aussagen sind richtig bzw. falsch?

1. Die Menge der rationalen Zahlen ist in der Menge der reellen Zahlen enthalten.

2. Die Logarithmusfunktion y = ln x ist nur für postiive x-Werte definiert.

3. Der folgende Ausdruck ist wahr: \( ( \sqrt { a } ) ^ { \frac { 1 } { n } } = a \)

4. Die Exponentialfunktion \( f(x) = a^x \) ist für \( 0 < a < 1 \) streng monoton fallend.

5. Ist eine Funktion streng monoton steigend, so ist sie auch monoton steigend.

Answer 1

(1) ist bei strenger Betrachtung falsch, wenn man es lockerer sieht, ist es richtig.

(2) richtig

(3) falsch

(4) falsch

(5) richtig; streng monoton ist das stärkere Kriterium

Grüße,

M.B.

Comments

was meinst du mit strenger Betrachtung? Und bei 5 kann es nicht richtig sein weil wenn es nur monoton wachsend ist dann enthält es gleiche stellen das heißt es kann nicht streng monoton sein da diese keine gleiche Stellen hat?

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(5) die Folgerung heißt: Wenn streng monoton, dann auch monoton, und nicht anders herum.

(1) Nimm z.B. die beiden Zahlen \( 5 \) und \( {5\over1} \). Für die erste gilt \( 5 \in \Bbb N \) und für die zweite gilt  \( {5\over1} \in \Bbb Q \). Das ist erst einmal streng zu unterscheiden, da in \( \Bbb N \) andere Rechenregeln gelten als in \( \Bbb Q \). Nun müsste man auch noch berücksichtigen, dass es in der Mathematik grundsätzlich überhaupt keine Division gibt, sondern diese indirekt über eine Multiplikation definiert ist, und diese wiederum in \( \Bbb Q \) noch nicht einmal eindeutig ist, was uns zum Problem des Kürzens und Erweiterns von Brüchen bringt. (Das Ganze bringt uns dann auf Äquivalenzklassen, Quotientenkörper, Integritätsbereiche u.v.a.m, aber das geht zu weit.)

Nun kannst Du in \( \Bbb Q \) nur diejenigen Brüche betrachten, die die Form \( {x\over 1} \) haben, und Du erkennst, dass diese (Teil)Menge die gleiche Struktur hat wie die von \( \Bbb N \), und deswegen kannst Du einen Iso-- (oder was auch immer) --Morphismus finden, der dann so tut, als ob \( {x\over1} \) das Gleiche wäre, wie \( x \).

Das Ganze gilt natürlich analog auch für \( \Bbb Q \) und \( \Bbb R \), aber da wird es noch deutlich komplizierter.

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Ja gut aber die natürlichen zahlen sind ebenfalls in den rationalen Zahlen enthalten somit ist es doch egal das man diese auch als Bruch darstellen kann? Und das mit dem der Folgerung kann nicht stimmen weil die streng monoton Funktion keine gleiche Stellen enthält? Wie soll diese dann von Monoton folgen wenn diese anders differiert ist?

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Du argumentierst in beiden Fällen schon wieder in die falsche Richtung.

(1)

Du hast in \( \Bbb N \) keine bzw. nur eine sehr eingeschränkte Division, also erweiterst Du auf \( \Bbb Q \). Dieses \( \Bbb Q \) hat erst einmal mit \( \Bbb N \) überhaupt nichts zu tun. Du kannst auch nicht einfach sagen, dass dort die gleichen Regeln gelten müssten, das muss nämlich erst noch bewiesen werden, und es gibt tatsächlich viele Erweiterungen in der Mathematik (irgendwelcher Art von irgendwelchen Bereichen), wo andere Regeln gelten.

In \( \Bbb Q \) hast Du erst einmal andere bzw. neue Regeln, die Du in \( \Bbb N \) nicht hast. Wenn Du Dich auf die Teilmenge \( {x\over1} \in \Bbb Q \) beschränkst, hast Du die gleichen Regeln wie in \( \Bbb N \). Wie erwähnt, musst Du dies beweisen und darfst es nicht einfach annehmen, aber weil es hier funktioniert, kannst Du so tun, als ob die Zahlen \( {x\over1} \) das gleiche wären, wie die Zahlen \( x \in \Bbb N \). (Du tust nur so, formal sind sie es trotzdem nicht.)

(5)

Eine streng monotone Funktion muss unterschiedliche y-Werte haben, eine monotone kann auch gleiche haben (muss aber nicht).

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wenn eine monoton nicht unbedingt gleiche haben muss worin unterscheidet man dann diese? Ist das nicht gerade der Unterschied zwischen den beiden? Und was bedeutet N und Q? Dachte das ist natürliche und rationale Zahlen?

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eine monotone Funktion kann gleiche haben und kann auch unterschiedliche haben.

Eine streng monotone muss unterschiedliche haben (und darf keine gleichen haben).

Grafisch gesehen, kann (muss aber nicht) eine monotone Funktion auch waagrechte Stellen haben, eine streng montone darf das nicht.

Eine ausschließlich waagrechte Funktion (z.B. \( f(x) = 2\) ) ist nicht streng monoton, sondern nur monoton (und sogar gleichzeitig monoton fallend, wie monoton steigend).

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ja richtig deswegen kann die eine nicht von der anderen folgen da sie beide unterschiedlich definiert sind. Wenn wir sagen das die streng monoton Funktion auch monoton ist dann gilt das nicht weil diese gleiche Stellen enthält?? Und was ist mit der Definition von Q und N?

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(5)

"Wenn wir sagen das die streng monoton Funktion auch monoton ist dann gilt das nicht weil diese gleiche Stellen enthält?"

\( \longrightarrow \) "Wenn wir sagen, dass die streng monoton Funktion auch monoton ist, dann gilt das nicht, weil diese (d.h. die monotone) gleiche Stellen enthalten kann?"

Denke an die Richtung

streng monoton \( \Rightarrow \) monoton

monoton \( \not\Rightarrow \) streng monoton

(1)

\( \Bbb N \) sind natürliche, \( \Bbb Q \) rationale, \( \Bbb R \) reelle Zahlen.

Wie gesagt: Analog zu \( \Bbb N \) und \( \Bbb Q \) kannst du auch mit \( \Bbb Q \) und \( \Bbb R \) argumentieren. Und deswegen ist die Behauptung richtig, wenn Du Schulmathematik verwendest und falsch, wenn Du höhere Uni-Mathematik verwendest.

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Habe jetzt meinen Lehrer von Fernstudium gefragt und er hat auch gesagt das 5 falsch ist was ich auch nachvollziehen kann, weil ich einfach immer noch nicht weiß wie du das daraus folgern kannst!

Ich studiere Betriebswirtin beim Fernstudium Guide (Fernstudium über Internet).

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"weil ich einfach immer noch nicht weiß wie du das daraus folgern kannst!"

Du hast zwei fast gleiche Asagen, nur die eine ist etwas strenger. Das bedeutet formal, die streng monotonen sind eine Teilmenge der monotonen. Das ist etwa so wie: "Alle Daumen sind Finger, aber nicht alle Finger sind Daumen." (Mache ein Mengendiagramm.)

Verwechsel das nicht mit einer normalen Folgerung, wo Du von einer Sache auf eine ganz andere schließen sollst.

Was machst Du mit dem Studium? Wird das auch irgendwie anerkannt, oder ist das nur Privatvergnügen mit hohen Kosten?

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Natürlich das ist ein staatlich anerkannter Studium, warum fragst du?

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reine Neugier, ich habe von diesen noch nie gehört.

Wenn da auf der ersten Seite steht "Lehrgang Geprüfte/r Betriebswirt/in (FSGU) komplett nur 699 €" und dann "Regelstudienzeit: 10 Monate" kommt mir das komisch vor, weil ein normales Studium einige Jahre dauert, und viele der (überhaupt) angebotenen "Studiengänge" oft nicht ernst zu nehmen sind. (Du kannst ja auch Dämonenaustreiber auf der Uni Timbuktu werden, aber ich glaube nicht, das man so etwas ernst nehmen sollte.)

Was hast Du, wenn Du fertig bist? Ein echter Bachelor oder Master kann es wohl nicht sein?

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doch danach kann ich auch den Bachelor und Master machen. Ich lass mir auch Zeit bei den Prüfungen und kann selbst entscheiden wann ich soweit bin. Oder bin ich wirklich so schlecht in Mathe?

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ob Du "wirklich schlecht" bist, weiß ich nicht.

Es gibt einen interessanten Satz (von David Hilbert glaube ich, selbst ein großer Mathematiker): "Man kann Mathematik nicht begreifen, man muss es einfach akzeptieren."

Wende Deine Formeln an, so wie sie definiert sind, und denke lieber nicht zu viel darüber nach. Da ist oft genug der bessere Weg. Man macht in der Mathematik (wie bedauerlicherweise oft genug auch im Alltag) oft den Fehler, etwas (hinein) zu interpretieren, was so nicht dasteht, so nicht gemeint ist, und sich rechnerisch auch nicht zeigen lässt. In der Mathematik sind viele Sachverhalte anders zu verstehen, als wir es im normalen Alltag gewohnt sind, und viele "Annahmen" sind mathematisch falsch und blockieren nur Dein Hirn.

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Ja gut dann kannst das mit der Funktion nicht recht haben weil "monoton" mathematisch anders definiert ist und streng monoton nicht auch monoton sein kann

Schaue diese Gesetze an: wegen kleiner gleich Zeichen oder größer gleich

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Ja also... x_n<x_n+1 impliziert doch ,dass x_n≤x_n+1 auch gelten muss. Somit ist jede streng monoton wachsende Folge auch monoton wachsend.

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Du hast hier Folgen und keine Funktionen, aber dort gilt das Gleiche.

Du musst von einer Funktion ausgehen, und dann prüfen, welche Eigenschaften nach Deiner Tabelle zutreffen.

Für \( x = 1,2,3,\dots \) soll z.B. \( y(1), y(2), \dots \) sein.

(a) 2,2,2,2,2,2 (also konstant). Hier gilt \( 2 \leq 2 \) also monoton wachsend; \(2 < 2 \) ist falsch, also nicht streng monoton wachsend; \( 2 \geq 2 \) richtig, also auch monoton fallend, \( 2 > 2 \) falsch, also nicht streng monoton fallend.

(b) 1,1,2,2,3,3. Hier gilt immer \( \leq \) zwischen je zwei Zahlen, also monoton wachsend, \( 1<1<2<2<3<3 \) ist teilweise falsch, also kein streng monoton wachsend; fallend sowieso nicht.

(c) 1,2,3,4,5. Hier gilt \(1\leq2\leq3\leq4\leq5\) alles richtig, damit monoton steigend; \( 1<2<3<4<5 \) auch immer richtig, also auch streng monoton steigend.

(d) 1,4,9,16 (Quadratfunktion). Wegen \( 1\leq4\leq9\leq16 \) monoton steigend, wegen \( 1<4<9<16 \) auch streng monoton steigend; fallend überhaupt nicht.

(e) 1,2,3,4,3,2,5,7. Insgesamt gesehen gar nichts, aber zumindes im ersten Teil \( 1<2<3<4 \) streng monoton steigend, und auch \( 1\leq2\leq3\leq4 \) monoton steigend.

Fallend analog dazu.

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Zum letzten Satz 1234 ist nicht auch monoton steigend weil kein Wert zweimal vorkommt sondern ist allein streng monoton steigend

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Es muss auch nicht, aber es darf. Beide Ketten mit \(<\) oder \( \leq \) sind richtig, damit monoton und auch streng monoton.

(Formeln anwenden und nicht zuviel denken.)