Erstmal solltest du einfach ein paar Skizzen anfertigen. Am besten in der Draufsicht und nur die obere und untere Fläche.
~draw~ dreieck(-1|-0.6 0|1.1321 1|-0.6);dreieck(1|0.6 -1|0.6 0|-1.1321);zoom(1) ~draw~~draw~ rechteck(-0.5|-0.5 1 1);polygon(0.7071|0 0|0.7071 -0.7071|0 0|-0.7071);zoom(1) ~draw~Man sieht, dass die Dreiecke und Vierecke sich jeweils so bewegen müssen, dass, vom Ursprung (unserem Drehpunkt) aus gesehen, die Eckpunkte "hinter" den Seitenmittelpunkten zu liegen kommen. Sie müssen anders gesagt denselben Winkel zum Nullpunkt haben wie die Seitenmittelpunkte. Diese haben als Winkel aber einfach das Mittel aus den Winkeln der beiden Eckpunkte. Für \(M_{\overline {AB}}\), den Mittelpunkt der Seite \(\overline{AB}\), gilt somit:
$$\angle (A,O,M_{AB})=\angle (M_{AB},O,B).$$ Dann gilt für den neuen Eckpunkt \(A':\)
$$\angle (A,O,A')=\angle (A',O,B).$$ Das bedeutet gerade, dass für alle drei neuen Eckpunkte die Winkel zwischen zwei Eckpunkten halb so groß sind wie vorher. Du weißt sicher, dass ein regelmäßiges \(n\)-Eck von seinem Mittelpunkt aus gesehen einen Winkel von \(\frac{360°}n\) von einem Eckpunkt zum nächstliegenden hat. Ansonsten kannst du dir das so merken, dass durch die Eckpunkte eines regelmäßigen \(n\)-Ecks ein Kreis verläuft, und weil die Seitenlängen alle gleich lang sind, müssen die Eckpunkte auf dem Kreisumfang gleichmäßig verteilt sein. Die Summe aller Winkel ist \(360°,\) weil du den Mittelpunkt einmal ganz umkreist. Jeder Winkel ist gleich groß, also hast du insgesamt \(\frac{360°}n.\)
Dasselbe Argument, aber mit doppelt so vielen Ecken, kannst du für deine Aufgabe verwenden. Bei einem Dreieck hast du nach dem Rotieren zwei mal drei also sechs Eckpunkte, die, von oben betrachtet, wieder alle auf einem Kreis liegen. Da du jedes mal \(2n\) Ecken hast, werden die Winkel zwischen den Ecken halb so groß. Und du suchst genau einen dieser Winkel. Die Antwort ist also \(\frac{360°}{2n}.\)
