\(1)\) Wie nn schon gesagt hat, ist die Lösung der ersten Gleichung:
$$\lambda\cdot x+b=a \Leftrightarrow \lambda\cdot x=a-b \Leftrightarrow [\lambda \in K,\lambda \neq 0]\Leftrightarrow x=\lambda^{-1}(a-b).$$
Da \(\lambda\) aus einem Körper stammt und nicht Null ist, existiert das Inverse sicher.
\(2)\) Sei \(K=\mathbb R,V=\mathbb R^2.\) Für \(a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) gilt: \(s\cdot a+t\cdot b=0 \Leftrightarrow s=t=0\), da sie eine Basis von \(V\) und damit linear unabhängig sind. Für \(s=1, t=-\lambda\) heißt das: \(s\neq0 \Rightarrow s\cdot a+t\cdot b\neq0 \Leftrightarrow s\cdot a\neq -t\cdot b.\) Und \(s\cdot a\neq -t\cdot b\) ist gerade (\(s\) und \(t\) einsetzen) \(1\cdot a\neq -(-\lambda)\cdot b\) oder vereinfacht: \(a\neq \lambda\cdot b.\)
