Gerade in Ebene E1 und E2 bestimmen vektoren. E1: -3x + 4y + 2z = -5

Question

Könnte mit jemand folgende aufgabe erklären vorrechnen?

Answer 1

Ich schreibe die Vektoren nicht in Spaltenform, sondern als Zeilen in eckigen Klammern.

zu a) E₁ in Normalenform umwandeln [x,y,z]·[-3,4,2]= - 5. Hier E₂ einsetzen und die Skalarprodukte bilden. Das führt zu

(-9+19+2)+λ·(-6+4+0)+μ·(21+0+2)=-5. Diese Gleichung z.B. nach μ auflösen ergibt μ=-14/23+2/23λ. Jetzt sind die Zahlen ohne Not so unschön geworden, dass mir das Weiterrechnen keinen Spaß macht. Du musst jetzt μ in E₂ einsetzen und so umformen dass eine Geradengleichung (also [x,y,z]=[a,b,c]+λ·[u,v,w]) entsteht.

Zu b) [-1,2,-7] steht senkrecht auf E₂. also auch auf g. Und [-3,4,2] steht senkrecht auf E₁ und damit auch auf g. Damit sind die Richtungsvektoren von F gegeben und der Stützvektor ist mit P gegeben.

Answer 2

a)   Das ist die Schnittmenge der beiden Ebenen.

Also z.B.   Gl. von E2 ist die von E1 einsetzen gibt

-3*(3+2λ - 7μ) +4(4+λ) +2*(1+μ) = -5

kurz  λ = 11,5μ + 7Einsetzen in E2 gibt

x                 17                        16
y     =          11          +   μ *    11,5
z                   1                         1

Das ist eine Gl. der ges. Geraden.b) Also ist der Richtungsvektor dieser Geraden ein

Normalenvektor der Ebene F und deren Gleichung

16x  +  11,5y   +    z   =    d    und mit P erhältst du d=6,5 .