Zuordnung Homomorphismen Logarithmus

Question

Handelt es sich bei dieser Zuordnung um einen Homomorphismus ?

f: (R+, ⋅) --> (R,+) mit f(x) = ln(x)

Wir hatten definiert, dass es sich um einen Homomorphis handelt, falls:

Eine Abbildung f: (A, ⋅)  --> (B,*) heißt Homomorphismus, falls f:(a⋅b) = f(a)*f(b)

Demnach hätte man dann ja stehen:

f(m⋅n) = ln(n⋅m) = ln(n)+ln(m)

und entsprechend:

f(m)+f(n) = ln(m) + ln(n) --> Da aber auf R abgebildet wird wäre es ja kein Homomorphismus, da ln ja nur für >0 definiert ist ?

Reicht das als Begründung ?

Answer 1

Hallo Oliver,

dein Nachweis ist richtig

> Da aber auf R abgebildet wird ... 

f(ℝ⁺) = ln(ℝ⁺) = ℝ   ist doch kein Problem.

Gruß Wolfgang

Comments

Aber die Verknüpfung ist aber letztendlich nicht gleich ?

Oder wie wäre da die genauere Begründung ?

Und das mit dem Definitionsbereich mit R spielt keine Rolle ?

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f(a⋅b) = f(a) + f(b)   bezieht sich doch gerade auf zwei verschiedene Verknüpfungen.

Das * ist in diesem Fall + .

Der Definitionsbereich ist doch ℝ⁺ und die Bildmenge ℝ geht in Ordnung.

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Also ist es dann ein Homomorphismus, oder?

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Ja natürlich, das hast du doch nachgewiesen :-)

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Und kannst du mir nochmal erklären, warum die Bildmenge dann keine Rolle spielt ?

Oder kann man die Bildmenge als Wertebereich sehen ?

Ich habe noch die Aufgabe:

f: (N,+) --> (Q,+) mit f(x) = x/2

Das wäre ja entsprechend kein Homomorphismus.

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Doch.

f(x+y) = (x+y) / 2 = x/2 + y/2 = f(x) + f(y)

Hier hat man halt (auf verschiedenen Teilmengen von ℝ) die gleiche Verknüpfung.

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> Und kannst du mir nochmal erklären, warum die Bildmenge dann keine Rolle spielt ?  

Ein Homomorphismus muss weder injektiv noch surjektiv sein. Die Bildmenge f(D) muss deshalb nur eine Teilmenge des Wertebereichs sein.

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Und die Erklärung zu der Bildmenge ?

Also bei der Aufgabe vom log, da verstehe ich nicht wie es dann definiert ist bzw. welche Rolle jetzt nur R spielt.

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Habe ich oben gerade ergänzt.

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Also wäre es auch ein Homomorphismus bei Ganzen Zahlen oder Natürlichen Zahlen?

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Das "es" ist zu ungenau formuliert, um es zu entscheiden :-)

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Also wenn man Bildmenge jetzt die ganzen Zahlen hätte statt die reellen Zahlen. :)

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Du musst schon  f: (D,o) → (W.*) , f(x) = ?
genau angeben  D , o , W , * ,  f(x)

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Also die gesamte Aufgabe mit log eben nur mit dem Unterschied, dass Die Bildmenge Z ist statt R.

f: (R+, ⋅) --> (Z,+) mit f(x) = ln(x)

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Das ist gar keine Abbildung, weil die ln(x)-Werte nicht für jedes x∈ℝ  in ℤ  liegen.

Vgl. oben:

Die Bildmenge f(D) muss ... eine Teilmenge des Wertebereichs sein.