Arithmetische, Geometrische - Folgen. Bildungsgesetz angeben für monoton steigende arithmetische Folge. etc.

Question

Hallo liebe Community! :D

Ich habe ein Problem in Mathematik... Wir haben heute ein neues Thema angefangen und ärgerlicherweise, haben wir einen Mathematiklehrer bekommen, der weniger gut unterrichten kann. (Was keine Ausrede sein soll)

Jedenfalls hat er viele Schritte übersprungen, was mir auch mehrere bestätigt haben, dass Sie nicht hinterher gekommen sind. Und wir haben jetzt Hausaufgaben aufbekommen, die wirklich niemand ,einschließlich meiner Wenigkeit, versteht.

Vielleicht ist ja jemand hier, der mir dabei helfen kann...auch wenn es mir unangenehm ist zu fragen, weil man ja ungerne seine Hausaufgaben hier stellen will, aber ich habe wirklich alles schon abgesucht und weiß wirklich nicht weiter.

1. Geben Sie ein Bildungsgesetz an!  

a) Monoton steigende arithmetische Folge

b) Monoton fallende geometrische Folge

c) Alternierende Folge

d) 1/2; 2/3; 3/4;

e) 2; 4; 8;

2. Welche Monotonie der Folgen vermuten Sie? Weisen Sie ihre Vermutung nach!

a_n = (n-2)/(2n+1)

a_n =n²-n

a_n = (-1)^^n-1 / n

Wäre über jede Hilfe wirklich Dankbar...

Danke schon mal im Voraus!

Schönen Abend an allen noch.

Answer 1

1. Geben Sie ein Bildungsgesetz an!  

a) Monoton steigende arithmetische Folge

a₀ = a
a_n+1 = a_n + d mit d > 0
oder a_n = a + n*d mit d > 0

b) Monoton fallende geometrische Folge

a₀ = a
a_n+1 = a_n * d mit a > 0 und 0 < d < 1
oder a_n = a + d^n mit a > 0 und 0 < d < 1

c) Alternierende Folge

a₀ = a
a_n+1 = a_n * (-1)
oder a_n = a + (-1)^n

d) 1/2; 2/3; 3/4;

a_n = (1+n)/(2+n)

e) 2; 4; 8;

a_n = 2^n

2. Welche Monotonie der Folgen vermuten Sie? Weisen Sie ihre Vermutung nach!

a_n = (n-2)/(2n+1)

Manoton steigend

(n - 2)/(2·n + 1) < (n+1 - 2)/(2·(n+1) + 1) = (n - 1)/(2·n + 3) | Nenner immer > 0
(n - 2)(2·n + 3) < (n - 1)(2·n + 1)
2·n^2 - n - 6 < 2·n^2 - n - 1
-6 < -1

 

a_n =n^2 - n

Monoton steigend für 

n^2 - n <= (n+1)^2 - (n+1) = n^2 + n

- n <= n
-2n <= 0
n >= 0

 

a_n = (-1)^{n-1} / n

Keine Monotonie weil es eine alternierende Folge ist. n muss hier > 0 sein.

Answer 2

1a) Monoton steigende arithmetische Folge

Die Differenz zweier Folgeglieder ist immer gleich. 

Zum Beispiel:

a(0) = 1; a(i+1) = a(i) + 2

a(0) = 1

a(1) = 3

a(2) = 5

a(3) = 7

usw.

 

1b) Monoton fallende geometrische Folge

Der Quotient zweier Folgeglieder ist immer gleich. 

Zum Beispiel: 

a(0) = 1; a(i+1) = a(i)/2

a(0) = 1

a(1) = 1/2

a(2) = 1/4

a(3) = 1/8

usw.

 

1c) Alternierende Folge

Zum Beispiel: 

a(i) = (-1)^i * i

a(0) = 0

a(1) = -1

a(2) = 2

a(3) = -3

a(4) = 4

usw.

 

1d) 1/2; 2/3; 3/4

a(i) = i / (i+1)

Hier sieht man sehr schön, dass durch die "Formel" a(i) = i / (i+1) der Aufbau der Folgeglieder beschrieben wird.

 

1e) 2; 4; 8

a(i) = 2^i

Hier auch :-)

 

2. Welche Monotonie der Folgen vermuten Sie?

a(n) = (n-2)/(2n+1)

Man setzt am besten ein paar Werte ein: 

a(0) = -2/1 = -2

a(1) = -1/3

a(2) = 0/5

a(3) = 1/7

a(4) = 2/9

a(5) = 3/11

a(6) = 4/13

Auf jeden Fall steigend, aber sonst ...?

 

a(n) = n^2 - n

a(0) = 0

a(1) = 0

a(2) = 2

a(3) = 6

a(4) = 12

a(5) = 20

Steigend :-)

 

a(n) = (-1)^{n+1} / n

a(0) nicht definiert wegen Division durch 0

a(1) = 1/1 = 1

a(2) = -1/2

a(3) = 1/3

a(4) = -1/4

a(5) = 1/5

usw.

Alternierend!

 

Besten Gruß

Comments

Oah Danke für deine Hilfe! Ich werde bestimmt noch eine Weile brauchen bis ich das komplett verstanden habe. Aber ich werde mich konkret mit Ihren Lösungen beschäftigen damit ich vielleicht auch den Blick kriege.

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Gern geschehen!

Sehen Sie sich bitte auch die Antwort vom Mathecoach (siehe unten) an, die ist formal - und wohl auch inhaltlich - wesentlich besser :-)