Gammafunktion. Zeigen dass eine Funktion in L^p liegt

Question

Zeigen dass eine Funktion in L^p $$L^p$$ liegt

sei $$ \alpha \in \mathbb R , f_\alpha : [0,+\infty[ \to \mathbb R$$ definiert durch

$$ f_\alpha = e^{-x^2} \cdot x^\alpha , x\in  ]0,+\infty[$$ und $$  f_\alpha = 0 , x = 0$$

Für welche alpha liegt f in $$ L^p([0,+\infty[)$$

Als Hinweis ist uns gegeben, dass $$ \forall \epsilon >0,\forall \alpha \in \mathbb R : \int_\epsilon^\infty e^{-x^2} \cdot x^\alpha < \infty $$

Ich habe erstmal versucht

$$ (\int_\epsilon^\infty |e^{-x^2}x^\alpha | ^p)^{1/p}$$ auszuwert um an das gesuchte alpha zu kommen. Da ist aber fehlgeschlagen, da bei der Integration die unvollständige Gammafunktion rauskommt was wir noch gar nicht besprochen haben. Und ich benutze nicht den Hinweis.

Ich weiß leider überhaupt nicht wie diese Aufgabe lösen soll und ich muss drei weitere Aufgaben erledigen die genau so aufgebaut sind. Könnte mir bitte jemand ausführlich erklären wie diese Aufgabe löse damit ich die anderen selbst erledigen kann

Answer 1

$$f\in L^P(0,\infty)\Leftrightarrow\int_0^\infty\left|x^\alpha e^{-x^2}\right|^p\,dx<\infty$$ Nach dem Hinweis ist nur noch $$\int_0^\epsilon\left|x^\alpha e^{-x^2}\right|^p\,dx<\infty$$ zu pruefen. Ausrechnen sollst Du das Integral nicht, eine Abschaetzung genuegt.

Comments

Hmm irgendwie komme ich auf keine geignete Abschätzung. Ich soll ja wahrscheinlich den folgenden Term $$ e^{-x^2}$$ abschätzen.

Könnte ich diesen nicht durch $$ e^{-x^2} \leq 1$$ abschätzen?

Falls ja, wäre das ganze nicht für $$\alpha=0$$ definiert.

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\(f_\alpha\) ist für alle \(\alpha\in\mathbb{R}\) definiert, siehe Aufgabentext.

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Wahrscheinlich ist es ziemlich einfach , aber ich sehe nicht wie ich

$$\int_0^\epsilon |x^\alpha e^{-x^2} |^p dx = \int_0^\epsilon (x^\alpha e^{-x^2} )^p dx  < \infty $$

abschätzen soll um an meine alpha zu kommen.

Danke für deine Hilfe, aber ich muss das Aufgabenblatt morgen abgeben und hab leider keine Zeit mehr.

Mfg