bild von linearer abbildung bestimmen

Question

kann mir jemand einen Tipp geben wie man bei der Abbildung i) auf das Bild kommt? ?

Sind die folgenden Abbildungen linear?

i) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \mapsto\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}, 0, x_{2}, x_{1}+x_{3}\right)^{T} \)

ii) \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto x_{1}+42 x_{2}-1 \)

Bestimmen Sie gegebenenfalls den Kern sowie das Bild der linearen Abbildung. Sind \( f \) und \( g \) injektiv bzw. surjektiv?
Eine lineare Abbildung \( h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) erfülle die Gleichungen
$$ h\left((1,0,0)^{T}\right)=(0,1)^{T}, \quad h\left((0,1,0)^{T}\right)=(1,0)^{T} $$

Answer 1

Hallo Simon,   

ich schreibe x,y,z  für die indizierten x_i

f(\(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\))  =   \(\begin{pmatrix} x-y+z \\ 0 \\ y \\ x+z  \end{pmatrix}\) 

f( k*\(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)+ \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\)) =  f(\(\begin{pmatrix} kx+u \\ ky+v \\ kz+w \end{pmatrix}\) )  =  \(\begin{pmatrix} kx+u-ky-v+kz+w \\ 0 \\ ky+v \\ kx+u+kz+w \end{pmatrix}\) 

= \(\begin{pmatrix} kx-ky+kz \\ 0 \\ ky \\ kx+kz \end{pmatrix}\)  +  \(\begin{pmatrix} u-v+w \\ 0 \\ v \\ u+w \end{pmatrix}\) = f( \(\begin{pmatrix} kx \\ ky \\ kz \end{pmatrix}\)) + f(\(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\))

= k * f(\(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)) + f(\(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\))

→   f ist eine lineare Abbildung  

Kern(f) = { r * \(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) | r∈ℝ }

Bild(f) = { r * \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) + s * \(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + t * \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) | r,s,t ∈ ℝ }

Bild(f) = { λ * \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) + μ * \(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)  | λ,μ ∈ ℝ }

Gruß Wolfgang

                              

Comments

Hallo Wolfgang,Danke für die Antwort. Kannst du vielleicht noch erklären wie du auf das Bild kommst? Das mit dem Kern habe ich verstanden. Mir ist auch klar das die Dimension des Bildes damit 3 sein muss. Ich weiß jedoch nicht wie man auf das Ergebnis für das Bild kommt. Wäre sehr nett von dir, wenn du mir das noch erklären würdest :)

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wenn du in der dritten Zeile  rechts x = r , y = s und z = t setzt, musst du diesen Vektor nur noch in 3 Summanden aufteilen und die Konstanten ausklammern.

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Ich weiß gerade nicht welche dritte Zeile du meinst. Kannst du mir das nochmal zeigen? :)

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Die 3. Zeile in der Antwort.

Mit dem rechten  Vektor v gilt bereits Bild(f) = { v | x,y,z ∈ ℝ } 

Unten ist  Bild(f) nur mit Hilfe von Basisvektoren dargestellt.

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Jetzt verstehe ich was du meinst :)Macht man das immer so wenn man eine Abbildung in dieser Form gegeben hat, also das man einfach aus den allgemein Bildvektor die Variablen belegt (x=r,....)  und dann die Konstanten ausklammert? 

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Wenn die Vorschrift in dieser angenehmen Form gegeben ist, ja.

Dann kann man direkt die Basisvektoren von Bild(f) ablesen.

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https://www.mathelounge.de/401250/basis-von-unterraum-bestimmen#c401327Das hier habe ich soweit verstanden. Ich habe aber noch eine Baustelle :D (siehe Link)Würdest du da, sofern du Zeit hast, mal drüber schauen? Ich weiß nicht wie ich die Vektoren auf Lineare Abhängigkeit überprüfe oder wie ich allgemein die Basis des Unterraums bestimmen kann.Deine Antworten bringen mir immer sehr viel :)

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Eine Frage noch:

Die Abbildung hier ist weder injektiv noch surjektiv oder?

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Das ist beides richtig.

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Begründung: Weil die Dimension des Bildes nur 3 ist und weil der Kern mehr als nur den Nullvektor enthält. oder?

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Das ist richtig.

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Eine wirklich letzte Frage jetzt noch ;)Oben bei dem Bild in der Antwort sind doch der erste und der dritte Vektor identisch. Darf man das dann so stehen lassen? Oder muss ich einfach einen dann weglassen?

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Du hast recht. Sorry,  ist mir gar nicht aufgefallen.

Bild(f) ist zwar nicht falsch aber so nicht "erwünscht", denn man braucht nur 2 Basisvektoren:

Bild(f) = { λ * \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) + μ * \(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)  |  λ,μ ∈ ℝ }

habe das in der Antwort ergänzt.

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Die Abbildung g (zweite Abbildung der Aufgabe) ist ja nicht linear. Das konnte ich selber zeigen.Für den Kern bin ich wieder auf eine Gerade gekommen, aber wie kommt man denn auf das Bild? Bzw. wie lautet das Bild von g?

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Das ist zwar dann nicht gefragt, aber

Kern(g) = { (x,y) ∈ ℝ² | x + 42y - 1 = 0 } ,  das ist eine Gerade, die nicht durch den Nullpunkt geht 

Bild(g) = { z ∈ ℝ | es gibt (x,y) ∈ ℝ² mit  z = x + 42y - 1 }  = ℝ 

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Wäre diese Abbildung dann surjektiv oder Injektiv?

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g ist nicht injektiv, weil  z.B.  g( - 41 ; 1) = 0 und g(1,0) = 0 gilt

g ist surjektiv, weil man zu jedem z∈ℝ und jedem x∈ℝ (bzw. y∈ℝ) ein passendes y∈ℝ (bzw. x∈ℝ) ausrechnen kann.

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Kann man surjektiv auch irgendwie wieder mit der Dimension Bild=Dimension Abbildung herleiten?Die Dimension des Bildes ist ja hier 2 (eine Ebene). Das ist gleich der Dimension von R². Das passt also.Aber was ich nicht verstehe ist warum die Dimension des Kerns jetzt 1 ist. Bzw. nach Dimensionsformel muss doch dimKern = 0 sein, da dim Kern+dim Bild=dim R² ? Wo liegt hier mein Fehler? :/

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Das Bild ist ℝ und hat die Dimension1, ℝ² hat die Dimension 2.

der Dimensionssatz gilt nur für lineare Abbildungen.

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g ist surjektiv, weil man zu jedem z∈ℝ und jedem x∈ℝ (bzw. y∈ℝ) ein passendes y∈ℝ (bzw. x∈ℝ) ausrechnen kann.Kann man auch sagen, die Abbildung ist surjektiv, weil die die Dimension des Bildes gleich der Dimension der Abbildung, beides 1, ist?

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>  Dimension der Abbildung

was soll das sein? Definition?

g: ℝ² → ℝ   und  Bild(g) = ℝ  →   g surjektiv 

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Danke für die ausführlichen Erklärungen! Das meiste habe ich verstanden!