a) Sei c 2 R, c > 1. Zeigen Sie, dass zu jedem a 2 R ein n 2 N existiert mit cn > a.
Anleitung: Indirekter Beweis! Nehmen Sie an, es gabe eine obere Schranke a 2 R fur die Menge
M := fcn : n 2 Ng. Dann besitzt M auch eine kleinste obere Schranke s 2 R (warum?). Die Zahl s
c
ware dann keine obere Schranke zu M. Das fuhrt aber auf einen Widerspruch zur De nition von s
(wie ?).
Alternativ: Schreiben Sie c = 1 + x und verwenden Sie Satz 1.2.5. (Bernoullische Ungleichung) und
Satz 1.2.10.
b) Sei q 2 C. Zeigen Sie:
(i) limn!1 qn = 0, wenn jqj < 1.
(ii) limn!1 qn = 1, wenn q = 1.
(iii) Die Folge (qn)n2N ist nicht konvergent, wenn q 2 C n (f1g [ U1(0)).
Hinweis: Zeigen Sie, dass (qn)n2N keine Cauchy-Folge ist.
