Konvergente komplexe Folge mit Epsilon sowie eine Nullfolge

Question

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabenstellung:

Beweisen Sie durch direkten Rückgriff auf die Definition von Konvergenz, dass die Folge (a_k)_k∈Ν mit

                        a_k = q^k       ,  k ∈ N,

für ein q ∈ C(kompl. Zahlen)  mit |q| < 1 eine Nullfolge sind.

Danke :)

Answer 1

Sei eps > 0 .

Dann brauchst du ein N, sodass für n > N gilt

| aⁿ - 0 | < eps

⇔  | q^k | < eps

⇔  | q | ^k   < eps     


⇔ k * ln ( | q | ) <    ln ( eps )    da       ln ( | q | ) negativ:


⇔ k    >     ln ( eps )  /   ln ( | q | )Wähle also N =  die nächste nat. , die größer ist als    ln ( eps )  /   ln ( | q | ).


Dann klappt es.   Eventuell noch  q = 0 extra erwähnen, da geht das mit dem

ln nicht, aber da ist eh die Folge konstant = 0.