Kurvendiskussion: f(x) = 1/2 * (2x^4 - 5x^2 + 4)

Question

f(x)= 1/2 (2x⁴-5x²+4) und zeichne den Graphen im Intervall [ -2;2]

 

a.) Im Schnittpunkt A der Funktion mit der y-Achse wird die Tangente errichtet; sie schneidet die Kurve im 1.Quadranten im Punkt B. Berechne den Flächeninhalt zwischen der Funktion und der Tangente im 1.Quadranten.

 

b.) Formuliere in eigenen Worten die Zusammenhänge zwischen den Begriffen erste Ableitung, Extremwerte und Monotonieverhalten

Comments

erste Ableitung : fällt das 1/2 weg?? ich hab es so geschrieben 8x³- 10x

zweite Ableitung: 24x²-10

dann die Funktion (x) Nullsetzen um die Nullstellen zu bekommen. ich mache leider immer fehler

Answer 1

f(x) = x^4 - 2.5x^2 + 2
f'(x) = 4·x^3 - 5·x
f''(x) = 12·x^2 - 5

Achsensymmetrisch zur y-Achse. Daher kann man die Kurvendiskussion auf den Positiven Bereich beschränken.

Y-Achsanabschnitt bei f(0)

f(0) = 2

Nullstellen f(x) = 0

x^4 - 2.5x^2 + 2 = 0
z^2 - 2.5z + 2 = 0
Keine Nullstellen

Extremstellen f'(x) = 0

4·x^3 - 5·x = x·(4·x^2 - 5) = 0
x₁ = 0
4·x^2 - 5 = 0
x₂ = √5/2

f(0) = 2 --> HP(0, 2)
f(√5/2) = 7/16 --> TP(√5/2, 7/16)

Wendestellen f''(x) = 0

12·x^2 - 5 = 0
x = √(5/12) = √15/6

f(√15/6) = 163/144 --> WP(√15/6, 163/144)

Skizze

Comments

t(x) = 2

d(x) = t(x) - f(x) = 2 - (x^4 - 2.5·x^2 + 2) = 5/2·x^2 - x^4
D(x) = 5/6·x^3 - x^5/5

Schnittpunkte:

d(x) = 0

5/2·x^2 - x^4 = 0
x₁ = 0
5/2 - x^2 = 0
x₂ = √10/2

Fläche zwischen den Schnittpunkten

D(√10/2) - D(0) = 5/12·√10 = 1.318

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b.) Formuliere in eigenen Worten die Zusammenhänge zwischen den Begriffen erste Ableitung, Extremwerte und Monotonieverhalten

Probierst du b) vielleicht erstmal alleine?

Was berechnet man mit der Ableitung. Wie steht das errechnete im Zusammenhang mit einem Extremwert und wie steht das errechnete im Zusammenhang mit der Monotonie.

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wie komme ich auf die Gleichung 5/2 x² -x⁴ = 0 mir ist klar das der xwert vom Tiefpunkt benützt wurde

und t(x) =2 ist ja die Tangente in der Zeichnung sehe ich sie eingezeichnet...aber ich weiß trotzdem noch nicht genau wie ich auf 2 komme

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Extremwerte benörigen wir um die Hoch und Tiefpunkte auszurechnen

Monotonieverhalten ist doch ob steigend / fallend/ monoton steigend/ monoton fallend .

mit der Ableitung rechnet man sich die H und T punkte aus

Hat Monotnoieverhalten auch etwas mit der Krümmung zu tun ?!?!


LG

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Im Text steht "Im Schnittpunkt A der Funktion mit der y-Achse". Du weißt das der Achsenabschnitt die Koordinate (0, 2) hat. Außerdem haben wir errechnet das dort ein Hochpunkt ist und wir eine waagerechte Tangente haben. waagerecht bedeutet keine Steigung. Daher ist die Tangente

t(x) = 2

Um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu ermitteln bilde ich die Differenzfunktion d(x)

Ich ziehe hier f(x) von t(x) ab

d(x) = t(x) - f(x) = 2 - (x⁴ - 2.5·x² + 2) = 2 - x⁴ + 2.5·x² - 2 = 5/2·x² - x⁴ 

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An den Schnittpunkten gilt f(x) = t(x) und damit d(x) = 0

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ziehe ich nun fx- t(x) ab oder t(x) -f(x) oder ist es egal du hast nämlich mit t(x) begonnen

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b.) Formuliere in eigenen Worten die Zusammenhänge zwischen den Begriffen erste Ableitung, Extremwerte und Monotonieverhalten

Mit der ersten Ableitung berechnet man die Steigung der Funktion an bestimmten Stellen. An Extremstellen wie Hoch und Tiefpunkten ist die Steigung null. Ich vergleiche das gerne damit wenn jemand über einen Berg läuft. Berg hoch hat er eine positive Steigung zu überwinden. Berg herunter ist die Steigung negativ. Oben auf dem Berg hat man aber mind. einen Schritt, den wir ohne Steigung zurücklegen können. Also kann man extremstellen berechnen indem man die Steigung (bzw. 1. Ableitung) gleich null setzt.

In Bereichen wo f'(x) > 0 ist hat man eine positive Steigung und der Graph ist monoton steigend. In Bereichen wo f'(x) < 0 ist hat man eine negative Steigung und der Graph ist monoton fallend.

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bedeutet ein Schnittpunkt ,dass es sich um eine waagrechte handelt ?

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wie bringe ich kommazahlen zu Bruchzahlen das hast du mit 5/2  und 2,5 gemacht nicht

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Ein Schnittpunkt bedeutet das bei gleichen x Werten die Funktionswerte f(x) und t(x) gleich sein müssen. Damit ist die Differenz der Funktionswerte 0. Das hat aber nichts mit waagerecht zu tun. Hier ist nur der Unterschied der Funktionswerte null und nicht die Steigung.

Ja. 2.5 kann man auch als 5/2 schreiben.
Man kann als unechten Bruch auch schreiben

2.5 / 1 und diesen mit 2 erweitern (2.5 * 2) / (1 * 2) = 5 / 2