Beweisen, dass z^5-z durch 5 teilbar ist "Durch Betrachtung "mod 5" "

Question

Beweisen, dass z^5-z durch 5 teilbar ist ,  z∈ℕ

Durch Betrachtung "mod 5"

kann mir wer weiterhelfen?

EDIT: Tags geändert.

Comments

die stichworte bzw. tags sind falsch, es soll ohne induktion bewiesen werden

Answer 1

verwende den kleinen Fermat.

Gruß,

Comments

a^P ≡ a (mod p)

k⁵ ≡ k (mod 5)

Was nun?

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Bring k auf die andere Seite.... 

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k⁵ -k≡ 0 (mod 5)

Das besagt doch, dass (k⁵ -k )/5 den gleichen Rest wie 0/5 hat. Und da 0/5 den Rest 0 hat, hat auch (k⁵ -k )/5 Rest 0 und damit ist es durch 5 teilbar, richtig?

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Ja, das fasst es zusammen.

Answer 2

z⁴≡1mod 5 (kleiner Fermat)

z⁴-1≡0 mod5 (Subtraktion von 1 auf beiden Seiten der Kongruenz)

z⁵-z≡0 mod5 (Multiplikation mit z auf beiden Seiten der Kongruenz)

Comments

Du meinst vermutlich Multiplikation mit z?