Die erste Ableitung einer Funktion dritten Grades lautet f ' (x) = 3/8* (x^2-10x+21)

Question

Funktionsgleichungen- Ableitung einer Funktion - Integralrechnung

Die erste Ableitung einer Funktion dritten Grades lautet f ' (x) =  3/8* (x²-10x+21)

 

könnte mit jemand die Funktionsgleichung f berechnen ?

und einer anderen Funktion f:y= 1/8 (x³-6x²+32) lautet meine Frage

soll ich diese Funktion mit 8 dividieren und dann die Nullstellen berechnen ? damit 1/ 8 wegfällt ? LG

Answer 1

Zunächst zur Funktion f(x) = 1/8 * (x^3 - 6x^2 + 32)

Ein Produkt wird dann 0, wenn zumindest ein Faktor 0 ist. 

Da das offensichtlich für 1/8 nicht gilt, kannst Du durchaus beide Seiten der Gleichung

1/8 * (x^3 - 6x^2 + 32) = 0

mit 8 multiplizieren, so dass sich die folgende Gleichung ergibt: 

x^3 - 6x^2 + 32 = 0

 

Nun zur gegebenen Ableitung

f'(x) = 3/8 * (x^2 - 10x + 21)

Ich würde erstmal ausmultiplizieren: 

f'(x) = 3/8x^2 - 30/8x + 63/8

Zur Aufleitung erhöhen wir den Exponenten von x jeweils um 1 und dividieren den Faktor davor durch den neuen

Exponenten: 

f(x) = (3/8)/3 * x^3 - (30/8)/2 * x^2 + 63/8 x + c

Leiten wir f(x) zur Probe ab, so erhalten wir: 

f'(x) = 3/8 x^2 - 30/8 x + 63/8 = 3/8 * (x^2 - 10x + 21)

 

passt :-)

 

Besten Gruß

Comments

Danke ich bin so froh ,dass ich dieses Forum gefunden habe!!! Vielen Dank an alle

Answer 2

Hi,

f'(x)=3/8*x^2-30/8*x+63/8 = 3/8*x^2-15/4*x+63/8

F(x)=1/8*x^3-15/8*x^2+63/8*x(+c)

Einfach Summandenweise integriert ;).

 

----------------

y= 1/8 (x³-6x²+32)

Nein. Du hast ein Produkt, da setze einfach die Klammer/Faktor 0 und direkt ist das ganze Produkt 0.

x^3-6x^2+32=0 |Raten einer Nullstelle: x=-2

Polynomdivision:

(x^3-6x^2+32)/(x+2)=x^2-8x+16

Binomische Formel erkennen oder pq-Formel anwenden:

x^2-8x+16=0=(x-4)^2

 

Die drei Nullstellen sind also x₁=-2 und x_2,3=4.

 

Grüße

Comments

grüß dich warum wird den 30/8 zu 15/ 8 dass bei den x immer un eines erhöht wird, das ist klar bei zahlen wird was gemacht? du hast auch 3/8 = 1/8


kannst du mir das nochmal erklären  ?

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Beachte die Regel:

x^n -> 1/(n+1)*x^{n+1}


Du musst also noch durch den neuen Exponenten Teilen. Das war in ersterem Falle der Exponent 2. Deswegen wird 30/8 zu 30/(8*2) = 15/8.

Bzw, 3/8 wird zu 3/(8*3) = 1/8, da hier der neue Exponent ja 3 lautet ;).

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okay danke .. und bezüglich der Nullstellen .geht es nur auf diese Art ? ich bevorzuge die kleine Lösungsformel oder herausheben LG

wann muss eine Polynomdivision genommen werden ?

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Ich denke für den ersten Schritt ist keine andere Variante wirklich empfehlenswert als die Polynomdivision ;).

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wie lautet die zweite Ableitung von f(x)

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Auch hier gehe summandenweise vor:

f'(x)=3/8*x²-30/8*x+63/8

f''(x)=6/8x-30/8 = 3/4x-15/4

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ich meinte y die Ableitung von y(x) 1/8 (x³-6x²-32)

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Achso ;). Sind aber genau dieselben Spielregen:

f(x)=1/8x^3-3/4x^2-4

f'(x)=3/8*x^2-6/4*x = 3/8*x^2-3/2*x

f''(x)=6/8*x-6/4 = 3/4*x-3/2


Du kannst folgen? Wieder summandenweise abgeleitet ;).

Answer 3

Entweder du multiplizierst aus und integrierst dann summandenweise:

f ' ( x ) = ( 3 / 8 ) * ( x ² - 10 x + 21 )

= ( 3 / 8 ) x ² - ( 30 / 8 ) x + ( 63 / 8 )

 

=> f ( x ) = ( 1 / 8 )  x ³ - ( 15 / 8 ) x ² + ( 63 / 8 ) x + const.

= ( 1 / 8 ) * ( x ³ - 15 x ² + 63 ) + const.

 

oder du integrierst nur über den Klammerinhalt und multiplizierst das Ergebnis mit 3 / 8 (Regel: Konstante Faktoren werden vor das Integral gezogen):

f ( x ) = ( 3 / 8 ) * ( ( x ³ / 3 ) - 5 x ² + 21 x ) + const.

Die beiden fett gesetzten Ausdrücke sind äquivalent.