Ist die Schnittmenge K von den K_(j) kompakt?

Question

Im Moment hänge ich an folgender Aufgabe:

Zeige:

Es sei J eine Indexmenge und {K_j}_jeJ eine Menge von kompakten Mengen K_j ⊆ R (reelle Zahlen).  Dann ist die Schnittmenge K=∩_jeJ K_j ebenfalls kompakt.

Jetzt habe ich den Satz 10.3: Eine Zahlmenge ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist

Allerdings ist ja bereits vorgegeben, dass es kompakt ist.

Habe wirklich keine Idee,wie das gehen könnte.

Auch nicht für die nächste Aufgabe : Vereinigung

Answer 1

Wenn die einzelnen Mengen kompakt sind, sind sie auch beschränkt.
Dann ist auch der Durchschnitt beschränkt, denn er ist ja eine Teilmenge
etwa der ersten der am Durchschnitt beteiligten Mengen.
Also ist jede obere und untere Schranke der ersten Menge auch eine

für den Durchschnitt.

Auch der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Also wenn alle einzelnen Mengen beschränkt und abgeschlossen sind,

dann ist es auch ihr Durchschnitt.

Bei der Vereinigung dürfen es nur endlich viele sein,
sonst klappt es mit den Maxima bzw. Minima der Schranken nicht.