Hey ich hab hier eine Aufgabe:
voraussetzung: K=Körper, V=K-Vektorraum. F∈EndK(v), n∈ ℕ mit Fn=0 und Fn-1 ≠0. F0 :=idv
Behauptung: es gibt ein v aus v, so dass folgendes Symstem linear unabhängig ist:
(v, F(v), F2 (v),...,Fn-1 (v))=(FK (v);0≤K≤n-1)
Meine idee: wähle ein v ∈ V mit Fn-1 (v)≠0. Seien dann λ0 ,..., λn-1 ∈ K mit λ0 v+ λ1 F(v)+...+ λn-1 Fn-1 (v)=0.
daraus λ0 ,..., λn-1 =0 folgern.
Fn-1 (λ0 v+λ1 F(v)+...+λn-1 Fn-1 (v))=F(0)=0
⇒Fn-1 (λ0 v+Fn-1 (λ1 F(v))+...+Fn-1 (λn-1 Fn-1(v))=0
⇒λ0 Fn-1 (v)+λ1 Fn-1 (F(v))+...+λn-1 Fn-1 ( Fn-1 (v))=0
⇒λ0 Fn-1 (v)+λ1 Fn(v)+...+λn-1 F2n-2 (v)=0
da Fn die 0-abbildung ist, ist das auch für alle größeren Exponenten so also;
⇒λ0 Fn-1 (v)+0+...+0=0
⇒λ0 Fn-1 (v)=0 und weil Fn-1 (v)≠0, gilt λ0 =0.
Also wird aus dem Ansatz λ0 v+λ1 F(v)+...+λn-1 Fn-1(v)=0 damit λ1 F(v)+...+λn-1 Fn-1(v)=0
Fn-2 (λ1 F(v)+...+λn-1 Fn-1 (v))=F(0)=0 λ1 =0
⇒λ1Fn-2 (F(v))+...+λn-1 Fn-2 (Fn-1(v))
⇒Fn-2F(v)λ1+...+λn-1F2n-3(v)=0
⇒Fn-2F(v)=Fn-1 (v) und alle anderen Exponenten an dem F sind größer als n-2. Also sind die Fxxx (x) alle=0 und es bleibt wieder nurFn-1 (v)λ1=0 also auch λ1 =0 , da Fn-1 (v)≠0
wie muss ich jetzt weiter machen?
