Wie findet man die Dimension des folgenden Vektorraums:

Question

C (als R-Vektorraum aufgefasst mit der normalen Addition als Vektoraddition und der normalen Multiplikation als Skalarmultiplikation).

Comments

Bestimme eine Basis von \(\mathbb{C}\) als \(\mathbb{R}\)-Vektorraum.

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Sitze auch gerade an der Aufgabe... probiere gerade eine Basis von C zu bestimmen. Komme nicht so recht weiter. Das einzige was mit dazu einfällt ist (1;i)

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Ist die Dimension 2?

Answer 1

Ja die Dimension ist 2. Eine Basis ist allerdings eine Menge und kein Tupel. Sollte also so aussehen:

$$ B = \{1, i\} $$

Comments

Hallo Yakyu, die Frage ist damit doch beantwortet. Mach doch eine Antwort daraus, damit sie nicht mehr als offene Frage erscheint.

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Hallo Wolfgang, das stimmt, allerdings kann ich meinen Kommentar komischer Weise nicht mehr zur Antwort umwandeln.

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Wie beweist man formal, dass die Dimension 2 ist?

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Du zeigst, dass die obige Basis tatsächlich eine Basis ist. Die Dimension ist nach Definition der Dimension von endlichen Vektorräumen die Anzahl der Basiselemente.

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Genau da liegt mein Problem: wie beweist man dass die obige Basis tatsächlich eine Basis ist

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Zeige, dass die charakteristischen Eigenschaften einer Basis gegeben sind (vergleiche eure Definition einer Basis eines Vektorraums).

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Also muss ich beweisen, dass B Erzeugendensystem von C ist und dass B linear unabhängig ist...

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Ja, so ist es.

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Haben noch nie Vektorräume mit komplexen Zahlen gemacht, könntest du mir das einmal vorrechnen. Wäre echt super lieb.