bestimmen sie die lösungen der komplexen gleichung

Question

ich komm gerade null mit dieser Gleichung klar.

Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Hallo like,

allgemeine Anleitung:

 Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

bei dir n = 4 ;  w = - 8  ( a = - 8 ; b = 0 )

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:

r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

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Kontrolllösungen:

 z = - ⁴√2 - ⁴√2·i   ∨   z = - ⁴√2 + ⁴√2·i   ∨   z =  ⁴√2 - ⁴√2·i   ∨    z = ⁴√2 + ⁴√2·i 

Gruß Wolfgang

Answer 2

z⁴ = -8

Zu -8 gehört der Winkel  180° und der Betrag von 8.

Also hat z den Winkel  von 180° : 4 = 45°   bzw  pi/4  und den Betrag von 4-te √8 . also

ist schon mal   z =2^3/4 * e ^i*pi/4     eine Lösung, bzw    =2^3/4 *  (   √2 / 2  + i *√2 / 2 )


entsprechend mit dem Winkel  180° + 360°  =  540° 

also  540° : 4  = 135°   bzw  3pi/4   also  . z =2^3/4 * e ^i*3pi/4    etc.

Answer 3

bestimmen sie die lösungen der komplexen gleichung