Hilfe bei der Funktion -wurzel(2-x^2) => Zeige das f nicht Injektiv ist und finde ihre Umkehrfunktion

Question

hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen.

1a. Bestimme den Defenitions- und Wertebereich von $$f(x)=-\sqrt { 2-{ x }^{ 2 } }$$ (f(x) ist eine surjektive Abbildung)

Lös: $${ D }_{ f }=|{ x }\in R:-\sqrt { 2 } \le x \le\sqrt { 2 } |$$

         $$W_{ f }=|f({ )x }\in R:0\le x\le \sqrt { 2 } |$$

1b Warum ist f nicht injektiv? Finde möglichst große Intervalle, damit f injektiv wird und seine lokale Umkehrfunktion. 

Lös: Ich weiss, dass f(x) im Bereich $$-\sqrt{2}\quad bis\quad\sqrt{2}$$ streng monoton fallend ist und damit injektiv, ich weiß jetzt nicht wie ich das mathematisch ausdrücken soll. 

Und bei der Umkehrfunktion muss ich doch auch die Intervalle beachten, da sonst f(x) nicht mehr injektiv ist, leider weiß ich auch nicht genau wie ich das lösen soll. 

Hoffe ihr könnt mir dabei helfen.

MFG John

Comments

du solltest dir mal den graph anschauen vielleicht hast du dir den falsch vorgestellt? 

Answer 1

Der Definitionsbereich ist richtig (naja, die Betragsstriche sind eine sehr komische Notation, aber die Lösung ist die richtige).

Der Wertebereich ist nicht richtig. \(f\) nimmt nie Werte größer Null an, weil jeder Wert das Negative einer Wurzel ist und Wurzeln von reellen Zahlen niemals negativ sind. Also ist "minus Wurzel" niemals positiv.

Wieso soll \(f\) dort injektiv sein? Du hast eine Funktion, in der das Argument nur im Quadrat vorkommt. Solche Funktionen sind immer gerade, was bedeutet \(f(x)=f(-x)\) (zumindest solange es ein \(x\) gibt, sodass \(x\) und \(-x\) beide im Definitionsbereich liegen).

Zum Beispiel ist hier \(f(1)=f(-1)\) und somit \(f\) nicht injektiv, weil \(1\) natürlich nicht gleich \(-1\) ist. Die Quadratfunktion ist allerdings bijektiv auf \((-\infty,0]\) sowie \([0,\infty)\).

\(g\colon\mathbb R\rightarrow \mathbb R\colon y\mapsto 2-y\) ist natürlich bijektiv, \(h\colon[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)\colon z\mapsto \sqrt z\) ebenso (das Problem bei der Wurzel ist nur, ob man im Definitionsbereich ist, aber Bijektivität ist auf \([0,\infty)\) kein Problem), schließlich \(-\colon \mathbb R\rightarrow \mathbb R\colon t\mapsto -t\), die Negation auf \(\mathbb R\), ebenfalls bijektiv.

Also sind alle Teilfunktionen von \(f\) bis auf die Quadratfunktion bijektiv. Wenn wir uns also auf ein Intervall einschränken, in dem diese auch bijektiv ist, dann ist \(f\) als Hintereinanderausführung bijektiver Funktionen wieder bijektiv.

Comments

Also liegt der Wertebereich dann bei Wf=|f(x)∈R: 0 <= y <= -✓2|

Achso und wenn ich annehme das bei den Intervallen f(x): (-∞,0] → [0,∞) wäre die Funktion bijektiv und ich könnte ganz normal die Umkehrfunktion bilden, die nämlich wäre: f(x)^-1=√-2+x²

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Du musst schon aufpassen, welche Zahl die größere ist: \(-\sqrt2<0\), also ist der Wertebereich \([-\sqrt2,0]\) (also in deiner Definition die beiden Zahlen vertauschen).

Für die Umkehrfunktion musst du \(f(x)\) durch \(y\) ersetzen und \(x\) durch \(f^{-1}(y)\):

$$f(x)=-\sqrt{2-x^2} \Rightarrow y=-\sqrt{2-(f^{-1}(y))^2}.$$
Jetzt der Clou: Wenn man auf \(\mathbb R\) unterwegs ist, ist das Quadrieren keine Äquivalenzumformung (man kann falsche Lösungen erhalten), aber auf \([0,\infty)\) oder \((-\infty,0]\) nicht, weil dort die Quadratfunktion bijektiv ist. Jede bijektive Funktion ist eine Äquivalenzumformung. Das deshalb, weil eine bijektive Funktion durch Anwendung der Umkehrfunktion einfach wieder rückgängig gemacht werden kann.

Also, weil wir auf \([0,\infty)\) oder \((-\infty,0]\) arbeiten, können wir einfach quadrieren:

$$y=-\sqrt{2-(f^{-1}(y))^2} \Leftrightarrow y^2=2-(f^{-1}(y))^2 \Leftrightarrow (f^{-1}(y))^2=2-y^2\Leftrightarrow f^{-1}(y)=\pm\sqrt{2-y^2}.$$

Beachte hier: Die Wahl des Vorzeichens (\(\pm\)) ist hier davon abhängig, ob wir uns auf \([0,\infty)\) oder \((-\infty,0]\) eingeschränkt haben. Sobald du eines von beiden gewählt hast, ist das Vorzeichen fest bestimmt, und damit die Umkehrfunktion eindeutig. Hier siehst du auch, dass \([0,\sqrt2)\) oder \((-\sqrt2,0]\) der maximal mögliche Definitionsbereich für eine bijektive Funktion sein kann. Sobald du ein Element der anderen Menge hinzufügst (außer 0 natürlich), ist die Umkehrfunktion nicht mehr eindeutig und somit \(f\) nicht mehr bijektiv.