Extremalproblem Beispiel Tunnel

Question

ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:

Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten.  Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20m betragen soll?

Ich habe Haupt- und Nebenbedingung schon aufgestellt, habe aber Probleme die Zielfunktion auszuklammern, könnte jemand helfen?

Answer 1

Nebenbedigung

U = 2·r + 2·h + pi·r

h = U/2 - r·(pi + 2)/2

Hauptbedingung

A = 2·r·h + 1/2·pi·r^2

Zielfunktion

A = 2·r·(U/2 - r·(pi + 2)/2) + 1/2·pi·r^2

A = r·U - r^2·(pi + 4)/2

Extrempunkt Ableitung gleich Null setzen

A' = U - r·(pi + 4) = 0

r = U / (pi + 4)

Höhe

h = U/2 - (U / (pi + 4))·(pi + 2)/2

h = U / (pi + 4)

Damit ist die Höhe exakt genau so lang wie der Radius.

Comments

Hier noch eine Lösung, wenn der Tunnelboden nicht eingerechnet werden soll.

https://www.mathelounge.de/286382/extremalproblem-tunnel-querschnitt-kreis-rechteck-umfang

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Erst einmal danke, ich verstehe aber nicht ganz den Schritt bei dem Umstellen nach h in der Nebenfunktion... Könnten Sie vielleicht das noch etwas genauer erklären? :)

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U = 2·r + 2·h + pi·r 

U - 2·r - pi·r  = 2·h

U/2 - r - pi/2·r  = h

U/2 - r·(pi + 2)/2 = h

h = U/2 - r·(pi + 2)/2