Hallo immai,
f : ℝ2 → ℝ2 ; \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) ↦ \(\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&-2\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} x+2y \\ x-2y \end{pmatrix}\)
Die Abbildung ist injektiv, wenn zwei verschiedene Elemente von ℝ2 immer auch verschiedene Funktionswerte haben. Äquivalent kann man zeigen, dass gleiche Funktionswerte immer auch gleiche Urbilder haben:
f( \(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\) ) = f( \(\begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix}\) )
⇔ \(\begin{pmatrix} u+2v \\ u-2v \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} r+2s \\ r-2s \end{pmatrix}\)
⇔ u+2v = r+2s und u-2v = r-2s
Addition der beiden Gleichungen → 2u = 2r → u = r
Subtraktion der beiden Gleichungen → 4v = 4s → v = s
→ \(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix}\) → f ist injektiv
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Die Abbildung ist surjektiv, wenn jedes \(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\) ∈ ℝ2 tatsächlich als Funktionswert vorkommt, d.h. wenn sich immer passende x,y ∈ℝ finden lassen, so dass gilt:
\(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} x+2y \\ x-2y \end{pmatrix}\)
Letzteres ist mit x = 1/2 · (u+v) und y = 1/4 · (u-v) richtig.
→ f ist surjektiv
Gruß Wolfgang
