Rang, Abbildungen: Minimal möglichen und maximal möglichen Rang von g ◦ f?

Question

Aufgabe:

Seien \( f: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) und \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) lineare Abbildungen mit rk \( f=2 \) und rk \( g=2 \) Bestimmen Sie den minimal möglichen und den maximal möglichen Rang von \( g \circ f . \) Genauer:

a) Was ist der minimale und maximale Rang nach Satz 4.1 .9 aus der Vorlesung?

b) Geben Sie jeweils ein Beispiel von Abbildungen \( f \) und \( g \) an so dass \( g \circ f \) diesen minimalen bzw. maximalen Rang hat.

Answer 1

Wenn der Satz war.    rk f = dim V - dim Kern(f)   dann ist da doch nicht viel mit max und min;denn für f hast du ja rk f = 2  .


Also beginnt der 2. Teil von g o f  jedenfalls auf Bild(f) und das ist 2-dim.Und g hat rk = 2 also  die Einschränkung g* von g auf Bild(f) jedenfalls rk ≤ 2 .



wenn g o f einen möglichst großen Rang haben soll, dann muss also rk g* = 2 seinund damit ist dann rk ( g o f ) = 2.


Möglichst klein wird der, wenn rk g* möglichst klein.     Da aber rk g = 2 ist und


der Definitionsbereich von g nur dim 3 hat,  hat  Kern g die Dimension  1.   Und wenn

Kern g ganz im Bild f liegt, hat damit auch Kern g* die Dimension 1 und damit

rk g*  =  rk ( g o f ) =  1  

Comments

Sitze auch gerade an dieser Aufgabe... Deine Antwort hat mir sehr gut weitergeholfen. Könntest du mir vielleicht noch bei b helfen?

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f  :  (a,b,c,d,e) ----> ( a,b,0)    g : ( a,b,c) ----->  ( a,b,c,0)  für rk=2

und

f  :  (a,b,c,d,e) ----> ( a,b,0)    g : ( a,b,c) ----->  ( 0 ,b,c,0)  für rk=1


Rechne mal nach, ich meine, dass es so stimmt.

 

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 rk(g o f) <= min(rk g, rk f)

das sagt der Satz

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f  :  (a,b,c,d,e) ----> ( a,b,0)    g : ( a,b,c) ----->  ( a,b,c,0)  für rk=2 

und 

f  :  (a,b,c,d,e) ----> ( a,b,0)    g : ( a,b,c) ----->  ( 0 ,b,c,0)  für rk=1 


Rechne mal nach, ich meine, dass es so stimmt. 

  Wie bist du auf diese Beispiele gekommen?