Stetigkeit einer Funktion untersuchen

Question

Untersuchen Sie, ob die Funktion f mit

f: {x ∈ R Ι ΙxΙ≤4} --> R mit x --> 

Ιx+3Ι-3   für x ∈ [-4,0]

√x           für x ∈ [0,4]

auf [-4,4] stetig ist.

Answer 1

Auf den Intervall (0,4] ist die Funktion stetig. 
Auf den Interval haben wir |x+3|-3. Das |y| ist gleich y wenn y>0 und es ist gleich -y wenn y<0. Die Nullstelle von x+3 ist x=-3. Wir haben also dass auf den Intervall [-4,-3) gilt |x+3|=-(x+3) und auf den Intervall (-3,0) gilt |x+3|=x+3. 
Also die Funktion f ist auf den Intervall [-4,-3) f(x)=-x-3-3=-x-6, und die ist Stetig. Die Funktion f ist auf den Intervall (-3,0) f(x)=x+3-3=x, und die ist stetig. 
Also müssen wir nur noch die Stetigkeit der Funktion prüfen in den Punkten wo die Formell der Funktion sich ändert, also x=-3 und x=0.

Answer 2

f: {x ∈ R Ι ΙxΙ≤4 }  --> R mit

  x ↦  (     Ιx+3Ι - 3   für x ∈ [ -4 ; 0 [ 

          (    √x              für x ∈ [ 0 ; 4 ] 

auf [ -4 ; 4 ] stetig ist.

Außer an der Nahtstelle x = 0 , an der sich die Funktionsvorschrift ändert, ist f als Verkettung stetiger Funktionen stetig.

Stetigkeit in x = 0:

lim_x→0-   f(x)   =  lim_x→0-  Ιx+3Ι - 3  =  0   =  lim_x→0+  f(x)   =   lim_x→0+ √x   =   f(0)

→  lim_x→0  f(x)  = f(0) = 0  →   f stetig in x=0   →   f ist stetig in [ -4 ; 4 ]

Gruß Wolfgang