Die Molkerei Meier hat die Rezeptur eines Joghurts mit der neuen Geschmacksrichtung „Apfelbeere“ entwickelt. Für die Produktion dieses Joghurts geht die Molkerei von einem s-förmigen Kurvenverlauf der Kostenfunktion aus, die der Produktionsmenge x die Gesamtkosten y zuordnet.
Die Fixkosten betragen 400 Geldeinheiten (GE). Außerdem ist bekannt, dass der Graph der Kostenfunktion einen Wendepunkt in (10|700) aufweist und die Wendetangente die Gleichung f(x) = 20x+500 hat. Die Kapzitätsgrenze für dieses Produkt liegt bei 50 Mengeneinheiten (ME).
Eine Marktanalyse hat ergeben, dass das Produkt in dieser Menge vollständig verkauft werden kann.
Hinweis: Alle zu skizzierenden Graphen sind in einem Koordinatensystem darzustellen. Wähelen Sie dabei als Maßstab für die Ordinate 500 GE = 1 cm, für die Abszisse 5 ME = 1 cm.
Aufgabe a)
Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationelen Funktion möglichst niedrigen Grades, die die Entwicklung der Kosten K nach den oben gemachten Angaben beschreibt. Geben Sie den ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich an.
Aufgabe b)
Die Molkerei erwartet einen Erlös von 70 GE je ME. Bestimmen Sie die Erlösfunktion E und zeigen Sie, dass die Gewinnfunktion G die Gleichung G(x) = -0,1x^3 + 3x^2 + 20x - 400 hat. Skizzieren Sie die Graphen der Kostenfunktion K und der Erlösfunktion E. Die Gewinnschwelle liegt bei 10 ME. Bestimmen Sie die Gewinngrenze. Bestimmen Sie die Produktionsmege, für die sich der maximale Gewinn ergibt und berechnen Sie diesen.
