berechnen Sie folgende exponentialfunktion/-reihe

Question

Bei Aufgabe d) benötige ich Hilfe 

Answer 1

Hinweis [siehe Teil c)]: 

$$ \operatorname{Im} \left( \exp \left[-k  +i \frac{\pi}{4} \cos(k\pi)\right ]\right) = \frac{e^{-k} \cdot (-1)^k}{\sqrt{2}}$$ für \(k \in \mathbb{N} \).

Gruß

Comments

Die Ich hätte noch eine Frage dazu : Wenn ich für x = - k und für ϑ=π/4 cos(πk) nehme kommt doch 

Im [∑_k=0   e^{-k}*cos(π/4 cosπk)+ i* e^{-k}*sin(π/4 cos(πk)) ] und wie komme ich davon nun zu ihrem Ergebnis.

---

Es wird der Imaginärteil betrachtet.
Weiterhin kann man vereinfachen: Es ist
\( \cos(k\pi) = (-1)^k \) für \( k \in \mathbb{N} \)
und \( \sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \) und \( \sin \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \) sind dir sicherlich bekannt.

---

Wenn ich den Imaginärteil nur anschaue, dass heißt dann das ich nur mit e^{-k}*sin(π/4)*(-1)^k rechne. Also das Summenzeichen und der Teil vor dem + verschwindet. 

Ich bekomme dann aber e^{-k}*sin(π/4)*(-1)^k = e^{-k}*√2 /2 *(-1)^k 

Wieso ist bei dir √2 im Nenner und wo ist die *1/2 abgeblieben 

---

Kürze den Bruch mit wurzel aus 2.