Menge ist mit der punktweisen Addition ein Ring

Question

Die Menge Link(V,V) ist mit der punktweisen Addition und der Hintereinanderausführung ο ein Ring mit Einselement Idv und für α E K und f,g Ε Link (V,V) gilt

α(fοg)=(αf)οg =f°(αοg)

Wie kann man das beweisen?

Comments

Was ist denn Link ?   K-lineare Abbildungen ???

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Ja genau. Das k ist nur ein Index

Answer 1

Da musst du wohl die ganzen Ringaxiome durchgehen, etwa  R,+ ist eine Gruppe:

Abgeschlossen: klar; denn  f+g ist die Abbildung  mit (f+g)(v) = f(v) + g(v) ist also ( musst du wohl noch

ausführen ) auch K-linear.

0-Element ist die Nullabbildung .

assoziativ führst du auf Assoziativität in V zurück.


inverses zu f ist  - f .


Multiplikation ist ja über o definiert.  Also sowas   a*(b+c) = a* b + a*c wäre hier


f o ( g + h ) =  f o g   +  f o h   und Gleichheit der Abbildungen zeigst du durch


Gleichheit der Bilder für alle v aus V.  Sei also v aus V, dann gilt

(  f o ( g + h )  )  ( v)  =  f (   (g(v) + h(v) )  und   wegen Linearität von f 

=  f  (g(v))    +   f (  h(v) ) 

= (fog)(v)   +   (foh)(v)   und wegen der Punktweisen Def. von +

=   (  (fog)  +   (foh)  )  (v) 

Also sind die Abb'en  f o ( g + h )   und    f o g   +  f o h   gleich.

So ähnlich die anderen Ringaxiome.