Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
Text erkannt:
Es sei \( R \) ein Ring. Zeigen Sie, dass
$$ \mathbb{Z} \times R=\{(m, r): m \in \mathbb{Z}, r \in R\} $$
ein Ring bezüglich der durch die Formeln
$$ \begin{aligned} \left(m_{1}, r_{1}\right)+\left(m_{2}, r_{2}\right) &:=\left(m_{1}+m_{2}, r_{1}+r_{2}\right) \\ \left(m_{1}, r_{1}\right) \cdot\left(m_{2}, r_{2}\right) &:=\left(m_{1} m_{2}, m_{1} r_{2}+m_{2} r_{1}+r_{1} r_{2}\right) \end{aligned} $$
definierten Addition und Multiplikation ist. Hier ist
$$ m r=\underbrace{r+\cdots+r}_{m \mathrm{mal}}, \quad n r=\underbrace{-r+\cdots+(-r)}_{-n \text { mal }} $$
für \( m \geq 0 \) und \( n \leq 0 .) \) Sind die Abbildungen \( f_{1}: \mathbb{Z} \times R \rightarrow \mathbb{Z}, f_{2}: \mathbb{Z} \times R \rightarrow R \) mit
\( f_{1}(m, r)=m, f_{2}(m, r)=r \) Ringhomomorphismen?
