bestimmen Sie den Entwicklungspunkt und den konvergenzbereich

Question

∑_(k=0) (cosh (k) *(z-i)^k

Also der Entwicklungspunkt wäre somit doch i .

Und für Den Konvergenzradius R gilt :

R=lim(k->∞)| cosh(k)/cosh(k+1)| und ich habe Probleme die Rechnung umzuformen.

Answer 1

R=lim(k->∞)| cosh(k)/cosh(k+1)|   = 1  ( glaube ich) Denn

cosh hat dochfür x gegen unendlich die Asymptote 1/2 * e^x .

Answer 2

$$ \frac { cosh(k) }{ cosh(k+1) }=\frac { { e }^{ k }+ { e }^{ -k }}{ { e }^{ k+1 }+ { e }^{ -k-1 } }=\frac { 1+{ e }^{ -2k } }{ e+{ e }^{ -2k-1 } }\\=\frac { 1 }{ e+{ e }^{ -2k-1 } }+\frac { { e }^{ -2k } }{ e+{ e }^{ -2k-1 } }\\=\frac { 1 }{ e+{ e }^{ -2k-1 } }+\frac { 1 }{ { e }^{ 2k+1 }+{ e }^{ -1 } }\\\to \frac { 1 }{ e }+0=\frac { 1 }{ e } $$

Comments

Gilt das auch noch wenn ich oben die falsche Reihe angeben hatte und zwar ist es nicht (z-i)^k sondern (z/2-i)^k

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Nein, dann gilt das natürlich nicht mehr, der Konvergenzradius ändert sich ein bisschen

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$$ (\frac { z }{ 2 }-i)^k=(\frac { 1 }{ 2 }(z-2i))^k=\frac { 1 }{ 2^k }(z-2i)^k $$

Gibt am Ende also

$$R=\frac { 2 }{ e }$$