Hi,
$$\lim \sqrt{n^3} - \sqrt{n^3 - \sqrt{n^3}}$$
erweitere nun mit der dritten binomischen Formel:
$$\lim \sqrt{n^3} - \sqrt{n^3 - \sqrt{n^3}} \cdot \frac{\sqrt{n^3} - \sqrt{n^3 + \sqrt{n^3}}}{\sqrt{n^3} + \sqrt{n^3 - \sqrt{n^3}}}$$
Im Zähler ergibt sich nach auflösen der Klammern und zusammenfassen \(\sqrt{n^3}\).
Im Nenner schauen wir uns den zweiten Summanden an:
$$\sqrt{n^3 - \sqrt{n^3}} = \sqrt{\left(n^3 - \sqrt{n^3}\right) \cdot \frac{n^3 + \sqrt{n^3}}{n^3 + \sqrt{n^3}}} = \sqrt{\frac{n^6-n^3}{n^3 + \sqrt{n^3}}}$$
$$= \sqrt{\frac{n^6 }{n^3 + \sqrt{n^3}} - \frac{n^3}{n^3 + \sqrt{n^3}}}$$
Wenn man das nun im Grenzwert betrachtet, geht der letzte Summand gegen \(1\), während der erste Summand gegen \(n^3\) geht. Die Wurzel nicht vergessen und für den Nenner kann man schreiben \(\lim \sqrt{n^3 - \sqrt{n^3}} = \sqrt{n^3}\)
Zurück zum eigentlichen Term:
Wir haben also im Nenner \(2\sqrt{n^3}\) und folglich ist der Grenzwert des gesamten Ausdrucks \(\frac12\).
$$\lim \sqrt{n^3} - \sqrt{n^3 - \sqrt{n^3}} = \frac12$$
Grüße
