Zeige, dass eine Funktion stetig aber nicht differenzierbar ist für x = 2

Question

Ich habe die Funktion f(x) = x        ,x<2 

                                            x^3-6 ,x≥2

Ich soll zeigen, dass dies Funktion stetig ist für x = 2 aber nicht differenzierbar. 

Reicht es zu zeigen, dass die Ableitung f'(x) = 1       ,x<2

                                                                         3x^2 ,x≥2

nicht stetig ist für x = 2 um zu zeigen, dass f(x) nicht differenzierbar ist für x = 2 ?

Answer 1

Wie du siehst ist die Funktion
f_links ( 2 ) = f_rechts ( 2 )
2 = 2
und somit stetig.

Reicht es zu zeigen, dass die Ableitung
f'(x) = 1       ,x<2
3x² ,x≥2

nicht stetig ist für x = 2 um zu zeigen, dass f(x) nicht differenzierbar ist für x = 2 ?

Ja.

f_links ´ ( 2 ) ≠ f_rechts ´( 2 )
1 ≠ 12
Die Funktion ist nicht differenzierbar.

Der Graph der Ableitung zeigt die Unstetigkeit der
Ableitungsfunktion

mfg gold und silber lieb ich sehr

Comments

Der Graph der Ableitung zeigt die Unstetigkeit der Ableitungsfunktion

Das ist sie ja auch tatsächlich, aber dein Graph von f' zeigt doch sogar zwei Werte für f'(2).
Zu zeigen ist, dass es gar keinen gibt.

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Eigentlich wollte ich ja nicht mehr mit dir
schwätzen aber es interessiert mich doch

Ist die Funktion

x^3 - 6  in [ 2 ; ∞ [

differenzierbar ?

Wie ist der Wert der Ableitung für x = 2 ?

Ist dieser derselbe für die zusammengesetzte Funktion in
der Ausgangsfrage ?

Gold-und-Silber-lieb-ich-sehr

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Der Begriff der Differenzierbarkeit ist nur für innere Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion definiert.

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@Mathe Ass

ich habe mit dem Beitragsfaden
https://www.mathelounge.de/409877/ableitung-geteilte-funktion#c409906
einmal versucht die Differenzierbarkeit  zu klären

Für eine einzelne Funktion
f ( x ) = x³ - 6, D = [ 2,∞ [
existiert an der Stelle x = 2 keinen Punkt links davon.

Die für mich plausibelste Definition hat jc2144

die Ableitung f'(x)=3x² gilt nicht für x=2, da dort der
linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten gar nicht existiert. Schließlich gibt es "links" von x=2 keine Funktionswerte.

Der Definitionsbereich der 1.Ableitung ist
f ´ ( x ) = 3 * x² , D = ] 2,∞ [

Nochmals : für definierte Randstellen einer Funktion
gibt es an dieser Stelle keine Ableitung.

mein eigenes Zitat von dort
Wie schaut es jetzt aus für den Punkt einen Tick
nach rechts ?

lim x −> 2(+)  f ´( x )

Dieser hat 2 Nachbarpunkte links und rechts die
sich auf der Funktion befinden.
Hier müßte es zulässig sein die 1.Ableitung
zu nehmen.

Wurde bejaht. Die Ableitung kann mit Potenz- und
Konstantenregel durchgeführt werden. Eine Bildung
über den Differentialquotienten ist nicht notwendig.

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In deinem Beispiel haben wir es mit einer zusammengesetzten Funktion zu tun für welche
gilt

linksseitiger Grenzwert  : lim x −> 2(-)  = 1 ( x < 2)
rechtsseitiger Grenzwert : lim x −> 2(+)  =  12 ( x > 2 )

Nach Expertenmeinung gilt für den Fall

linksseitiger Grenzwert   ≠ rechtsseitiger Grenzwert

Die Ableitungsfunktion ist nicht stetig und damit ist die
Funktion nicht  differenzierbar.

Answer 2

Hi, 

Genau, das passt. Und dann noch zeigen, dass die Funktion selbst stetig ist und die Aufgabe ist fertig :).

Grüße 

Comments

Genau, das passt

NEIN !

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Worauf bezieht sich Dein Ausruf der Ungläubigkeit?

Solange man keine Stetigkeit bei x = 2 der Ableitungsfunktion vorfindet, findet man auch keinen gemeinsamen Grenzwert (rechts und linksseitig) des Diffferentialquotienten (wie ich die Antwort formuliert/bearbeitet hätte). Bzw. die Ableitungswerte sind nicht gleich...

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Woraus tatsächlich folgt, dass die Funktion nicht stetig differenzierbar sein kann.

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Mein Fehler, da hatte ich zu schnell abgenickt. Man muss in der Tat mit dem Differentialquotienten arbeiten.

Danke für die Aufmerksamkeit :).

Answer 3

lim_x→2+ f(x)  =  lim_x→2+ (x³ - 6)  = 2  =  lim_x→2-  x  =  lim_x→2- f(x)  

→  lim_x→2  f(x) =  f(2)   →  f  ist stetig in x=2

lim_x→2+  \(\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\)  = lim_x→2+  \(\frac{x^3-6-2}{x-2}\)   =  lim_x→2+  \(\frac{x^3-8}{x-2}\) 

       = lim_x→2+ (x² + 2x + 4)  =  12

lim_x→2-  \(\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\)  = lim_x→2-  \(\frac{x-2}{x-2}\)  =  1

→   lim_x→2  \(\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\)  existiert nicht  →  f ist in x=2 nicht dfferenzierbar

Gruß Wolfgang

Comments

Morgen Wolfgang,

du hast also mit Hilfe des Differenzenquotienten 
gezeigt das der linksseitige Grenzwert der Ableitung
ungleich des rechtsseitigen Grenzwertes ist.

Nach meinen Erfahrungen kann es generell in einem
solchen Fall ( in Worten ) kein " missing link = Ver-
bindungspunkt "  geben.

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> ... kein " missing link = Verbindungspunkt "  geben.

Ich weiß nicht, was du damit genau meinst 

> Reicht es zu zeigen, dass die Ableitung f'(x) = 1       ,x<2

                                                                           3x²     ,x≥2

nicht stetig ist für x = 2 um zu zeigen, dass f(x) nicht differenzierbar ist für x = 2 ?

Da f ' in x=2 nicht definiert ist, kann es dort auch nicht stetig sein.

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Werter Gus

vielleicht liest du dir diese Diskussion (noch) mal durch, die seinerzeit mit einem gewissen georgborn geführt wurde.

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Hallo Wolfgang,

> ... kein " missing link = Verbindungspunkt "  geben.

Ich weiß nicht, was du damit genau meinst

(* Scherzmodus an*)
Falls das Wort " missing link "  ( dies ist kein
Indianername ) nicht geläufig ist hier  zur Hebung
der Allgemeinbildung :

Fehlt zwischen 2 Fakten noch ein Verbindungsglied
wird dies häufig mit den englischen Wort " missing
link " bezeichnet.

Zur Erheiterung
Kurz nach der Wende kommt ein Sachse in eine
( westdeutsche ) Buchhandlung und sagt

Ich hätte gern von Karl May das Buch " Das Kapital ".

Der Buchhändler
Aber mein Guster, das Buch ist nicht von Karl May
sondern von Karl Marx 

Der Sachse
Ach so. Deshalb kamen da auch keine Indianer vor.

(* Scherzmodus aus *)

Du schreibst

lim x -> 2(+) = 12
lim x ->  2(-) = 1

und schließt dann messerscharf
lim x -> 2 ist nicht existent.

Dies ist dasselbe im Alltagsdeutsch

Nach meinen Erfahrungen kann es generell in einem
solchen Fall ( in Worten ) kein " missing link = Ver-
bindungspunkt "  geben.

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Völlig verblödet bin ich ja nun auch nicht :-)

Fragesteller wollen in Kommentaren zu Antworten normalerweise etwas wissen.

Und ich weiß leider immer noch nicht, was du eigentlich von mir wissen willst :-)

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Wurde erstellt vor deinem obigen Kommentar

Hallo Wolfgang,

es müßte doch gelten : die Steigung eines Punktes P ( 2 | 3 ) zu einem Punkt P2 ( x | f ( x ) ) auf einer Funktion f ( x )  kann durch den Differenzenquotienten gebildet werden
( f ( x ) - 3 ) / ( x - 2 )

Liegt der Punkt P auf der Funktion f ( x ) kann
[ f ( x + h ) - f ( x ) ]  / h
verwendet werden und ergibt als Differentialquotient
die erste Ableitung.

Rechtsseitig :
Liegt also, wie in der Fragestellung angeführt, der Punkt
auf der Funktion kann auch die normale erste Ableitung genutzt werden P ( 2 |  2 )
Der rechtsseitige Grenzwert über die 1.Ableitung oder
über den Differentialquotienten ist dann derselbe.