@Mathe Ass
ich habe mit dem Beitragsfaden
https://www.mathelounge.de/409877/ableitung-geteilte-funktion#c409906
einmal versucht die Differenzierbarkeit zu klären
Für eine einzelne Funktion
f ( x ) = x3 - 6, D = [ 2,∞ [
existiert an der Stelle x = 2 keinen Punkt links davon.
Die für mich plausibelste Definition hat jc2144
die Ableitung f'(x)=3x2 gilt nicht für x=2, da dort der
linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten gar nicht existiert. Schließlich gibt es "links" von x=2 keine Funktionswerte.
Der Definitionsbereich der 1.Ableitung ist
f ´ ( x ) = 3 * x2 , D = ] 2,∞ [
Nochmals : für definierte Randstellen einer Funktion
gibt es an dieser Stelle keine Ableitung.
mein eigenes Zitat von dort
Wie schaut es jetzt aus für den Punkt einen Tick
nach rechts ?
lim x −> 2(+) f ´( x )
Dieser hat 2 Nachbarpunkte links und rechts die
sich auf der Funktion befinden.
Hier müßte es zulässig sein die 1.Ableitung
zu nehmen.
Wurde bejaht. Die Ableitung kann mit Potenz- und
Konstantenregel durchgeführt werden. Eine Bildung
über den Differentialquotienten ist nicht notwendig.
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In deinem Beispiel haben wir es mit einer zusammengesetzten Funktion zu tun für welche
gilt
linksseitiger Grenzwert : lim x −> 2(-) = 1 ( x < 2)
rechtsseitiger Grenzwert : lim x −> 2(+) = 12 ( x > 2 )
Nach Expertenmeinung gilt für den Fall
linksseitiger Grenzwert ≠ rechtsseitiger Grenzwert
Die Ableitungsfunktion ist nicht stetig und damit ist die
Funktion nicht differenzierbar.