Beweis durch vollständige Induktion: 1 + 1/5 + (1/5)^2 + (1/5)^3 +…..(1/5)^n = 5/4(1-(1/5)^{n+1})

Question

Beweise durch vollständige Induktion ,dass

\( 1+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}+\left(\frac{1}{5}\right)^{3}+\ldots+\left(\frac{1}{5}\right)^{n}=\frac{5}{4}\left(1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}\right) \)

für alle natürlichen Zahlen n gilt.

Answer 1

Verankerung: 

Die Gleichung gilt für n = 1, denn

1 + (1/5)^1 = 6/5 und

5/4 * (1 - (1/5)^2) = 5/4 * (1 - 1/25) = 5/4 * 24/25 = 120/100 = 6/5

 

Annahme: 

Die Gleichung gelte für n

1 + (1/5)^1 + ... + (1/5)^n = 5/4 * (1 - (1/5)ⁿ⁺¹)

 

Schritt: 

Dann soll sie auch für n+1 gelten

1 + (1/5)^1 + ... + (1/5)^n + (1/5)ⁿ⁺¹ = 5/4 * (1 - (1/5)ⁿ⁺¹) + (1/5)ⁿ⁺¹

Zu zeigen: 

5/4 * (1 - (1/5)ⁿ⁺¹) + (1/5)ⁿ⁺¹ = 5/4 * (1 - (1/5)ⁿ⁺²)

5/4 - 5/4*(1/5)ⁿ⁺¹ + (1/5)ⁿ⁺¹ = 5/4 - 5/4*(1/5)ⁿ⁺²

-5/4*(1/5)ⁿ⁺¹ + (1/5)ⁿ⁺¹ = -5/4*(1/5)ⁿ⁺²

1/4*(1/5)ⁿ⁺¹ = 5/4*(1/5)ⁿ⁺²

(1/5)ⁿ⁺¹ = 5*(1/5)ⁿ⁺²

(1/5)ⁿ⁺¹ = 5*(1/5)*(1/5)ⁿ⁺¹ | : (1/5)ⁿ⁺¹

1 = 5*(1/5)

stimmt :-)

Answer 2

Hi,

mal in Kurzform ;).

I.A.

für n=0

(1/5)^0=1    und 5/4(1-1/5)=1

 

Nun auch zeigen für n+1

Linke Seite umformen (der rote Teil ist den I.A. eingesetzt):

 

Rechte Seite umformen:

 

Der grüne Teil passt also. Bedingung gezeigt :).

 

Grüße