Primzahlen, Primfaktoren und Primfaktorzerlegungen

Question

ich brauche bei folgenden Aufgaben Hilfe:

a) Welche natürlichen Zahlen mit genau neun Teilern haben 13 als größten Primfaktor?

b) Gibt es eine Zahl mit (i) genau 30, (ii) genau 36 Teilern und genau vier unterschiedlichen Primteilern? Begründen Sie Ihre Antworten.

c) Bestimmen Sie die kanonische Primfaktorzerlegung von
    (i) 12!     (ii) 71^44     (iii) 7722^8

d) Auf wie viele Nullen endet die Zahl 13^20 * 12! * 8575 * 7722? (Begründung)

Answer 1

a) Welche natürlichen Zahlen mit genau neun Teilern haben 13 als größten Primfaktor? 

Maybe

13^8, 13^2 * 2^2, 13^2 * 3^2, 13^2 * 5^2, 13^2 * 7^2, 13^2 * 11^2

Gibt es noch mehr?

Comments

b) Gibt es eine Zahl mit (i) genau 30, (ii) genau 36 Teilern und genau vier unterschiedlichen Primteilern? Begründen Sie Ihre Antworten. 

30 = 2 * 3 * 5 --> Sieht schlecht aus denke ich

36 = 2 * 2 * 3 * 3 --> Das geht

Formuliere mal die Begründung weiter aus. Ich habe ja nur meine Idee geäußert.

Siehe vielleicht auch unter https://de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion

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c) Bestimmen Sie die kanonische Primfaktorzerlegung von 
    (i) 12!     (ii) 71⁴⁴     (iii) 7722⁸ 

12! = 2^10 · 3^5 · 5^2 · 7 · 11

71^44 = 71^44

7722^8 = (2 · 3^3 · 11 · 13)^8 = 2^8 · 3^24 · 11^8 · 13^8

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d) Auf wie viele Nullen endet die Zahl 13²⁰ * 12! * 8575 * 7722? (Begründung)

12! = 2^10 · 5^2 · ...

8575 = 5^2 · ...

7722 = 2 · ...

Damit sollte die Zahl auf 4 Nullen enden. Bitte auch hier Begründung noch ausformulieren.

Answer 2

Gibt es eine Zahl mit (i) genau 30, (ii) genau 36 Teilern und genau vier unterschiedlichen Primteilern? Begründen Sie Ihre Antworten.

Die Anzahl der Teiler ist das Produkt der um 1 vermehrten Exponenten der Primteiler. Da es genau 4 Primteiler geben soll, muss es ein Produkt  (i) 30 oder (ii) 36 aus vier Faktoren geben, von denen der kleinste 2 heißt. Zu (i) nicht möglich. Zu (ii) 2·2·3·3=36.