Taylorpolynom von f(x) = (x^{2}+3*x+2)/(x^{2}-1)

Question

ich soll das Taylorpolinom p2(x) vom Grad 2 an der Stelle x=0 bestimmen. Das Ergebnis soll ich mit Maple kontrollieren. Danach soll ich den Fehler angeben den man macht wenn man f(x) für x ∈ [-0.25,0.25] durch p2(x) ersetzt.

Habe mit dem Taylorpolinom angefangen, bekomme das hier raus:

Allerdings fehlt noch der Rest rechts der zusammengefasst werden muss, wenn ich das mit Maple lösen lasse, erhalte ich 

-2-3*x+O(x^2) Was bedeutet dieses O(x^2) ? Kann mir jemand zeigen wie man die Aufgabe löst? mit meinem Ansatz? Muss ich noch irgendwas für x einsetzen? x0 habe ich ja schon eingesetzt (x0=0).

Und was hat es mit diesem -0,25 und 0,25 auf sich? :)

Ich bedanke mich schon mal für jede Antwort :)

Answer 1

Maple hat dir nur das lineare Taylorpolynom bestimmt, das O(x^2) bedeutet das Terme vom Grad 2 oder höher vernachlässigt werden.

Bei deinem Ergebnis darfst du die x nicht weglassen:

p(x)=-2-2x-3x^2

Für die Abschätzung der Abweichung im Intervall

[-0.25,0.25] kannst du Restglied Formeln verwenden.

Comments

Ok verstehe, ich versuch es mal damit. Danke.

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Kann -0.4687500000e-1 stimmen? Oder eventuell 0.4687500000e-1 ?

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Mit der Restgliedformel von Lagrange ergibt sich:

$$ |{ R }_{ 2 }(x)|=|\frac { { f }^{ 3 }(c) }{ 3! }x^3|\\=|\frac { -3 }{ (c-1)^4 }(0.25)^3|=\frac { 3 }{ (c-1)^4 }0.015625\\<=\frac { 3 }{ (0.25-1)^4 }0.015625=4/27 $$

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Ich kann deine Rechnung nachvollziehen, jedoch muss ich das mit dieser Restgliedformel machen:

|Rn(x)|<=((C)/(n+1)!)*|x-x0|^{n+1}

Habe es schon versucht einzusetzen aber da bekomme ich nur 0.6510416667e-3 raus.

Ich habe immer gelernt, eine Tabelle zu machen in denen man die ganzen Ableitungen erstellt und dann x0 (in der Aufgabe 0) einsetzt, dann bekommt man ja die ganzen Zahlen für das Taylorpolinom raus. Ich solte das ja bis zum Grad 2 machen. In der Vorlesung wurde uns gezeigt, dass wir die dritte Ableitung auch bilden sollen. Wenn ich da 0 einsetze erhalte ich -18, ist das mein C? Und was hat es mit diesen "Schranken" auf sich? Bin sogut wie fertig mit meinen Aufgaben, mir fehlt nur noch eine erklärung für diese Aufgabe :)

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Die Restgliedformel lautet:

$$ |{ R }_{ n }(x)|=|\frac { { f }^{ n+1 }(c) }{ (n+1)! }{ x }^{ n+1 }|\\ $$

Die "Schranken" sind der Betrag.

Dabei ist c unbekannt, c ∈ [-0.25,0.25].

Deshalb schätz man das Restglied nach oben ab, damit man eine obere Grenze für den Fehler bekommt:

$$ |{ R }_{ n }(x)|=|\frac { { f }^{ n+1 }(c) }{ (n+1)! }{ x }^{ n+1 }|\\<=|\frac { max[{ f }^{ n+1 }(c),c\in[-0.25,0.25]] }{ (n+1)! }{ x }^{ n+1 }|\\ =|\frac { max[{ f }^{ 3 }(c),c\in[-0.25,0.25]] }{ (3)! }{ x }^{ 3 }|$$

Die 3.te Ableitung ist -18/(c-1)^4, diese Funktion wird maximal wenn c=0.25. Das hab ich oben eingesetzt. x^3 auch wird maximal wenn x=0.25.

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Vielen Dank :)

In der Schule damals wurde mir gesagt, dass die Betragsstriche minus zeichen entfernen, ich bekomme bei der Restgliedgleichung -0.14 raus, kann ich das dann einfach umschreiben in 0.14? In der Uni hatten wir vor einigen wochen nochmal betragsgleichungen, wenn die kleiner 0 sind schreibt man die ja auch in Klammern mit einem - davor, also hängt das ja zusammen. Kann ich das - zeichen wegen den Betragsstrichen einfach weglassen? Ich habe mich damals in der Schule schon deswegen gewundert, dort wurde uns gesagt, dass das "einfach so ist", habe deswegen nie wirklich eine Antwort darauf erhalten.

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Ja der Betrag macht den Term positiv, du brauchst bloß das - im Ergebnis zu entfernen.

|x|=x wenn x>=0

und |x|=-x wenn x<0

|-0.14|=0.14

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ok danke, alles verstanden :)

Answer 2

Kann mir jemand zeigen wie man die Aufgabe löst? mit meinem Ansatz? Muss ich noch irgendwas für x einsetzen? x0 habe ich ja schon eingesetzt (x0=0).Musst nur ausrechnen, gibt

-2  -3*x  -3x²   =  p₂(x)

Comments

Ah ok und was mache ich mit diesem -0,25 und 0,25? Habe ich da irgendwas übersehen?