3x3 matrix mit Parameter. Rang untersuchen

Question

ich habe die Matrix zunächst in Zeilenstufenform gebracht, aber gleich beim ersten Schritt (um die 0 untern links zu erzeugen) III-λ*I gerechnet. Dazu muss ja λ≠0 sein. Am Ende komme ich dann aber auf λ²-λ mit den Nullstellen 0 und 1, d.h. für 0 und 1 kriege ich eine Nullzeile, ergo Rang 2.

 Aber mich irritiert jetzt, dass oben meine Zeilenumformung nur für λ≠0 definiert ist. Nur dadurch bin ich ja zu dem Term y²-y gelangt. Und jetzt sage ich wieder λ=0. :/

Ich habe das ganze alternativ über die Determinante gerechnet und festgestellt, dass für diese zwei Werte (0 und 1) der Rang wirklich 2 ist. Aber in der Klausur hätte ich diese Probe aus Zeitgründen ja nicht machen können.

Deswegen wollte ich mal wissen, wie obiger Fall (erst λ≠0, dann λ=0) bei der Zeilenstufenform zu behandeln ist.

Answer 1

[1, 3, 2]
[0, - 2·k, k]
[k, 1, 3·k]

III - k*I

[1, 3, 2]
[0, - 2·k, k]
[0, 1 - 3·k, k]

2·k*III + (1 - 3·k)*II

[1, 3, 2]
[0, - 2·k, k]
[0, 0, k·(1 - k)]

Du hast den Rang 2 für k = 0 oder k = 1, weil sich dann eine Nullzeile ergibt. Du hast die letzte Berechnung wohl nicht ganz korrekt gemacht.

Comments

Ich habe des selbe raus wie du :)

Deine erste Umformung war ja auch III-kI. Das ist ja nur für k ungleich 0 definiert.

Am Ende sagst du dann aber auch Rang 2 für k=0 und 1. Ergibt sich dieses Rang 2 für k=0 aus deiner letzten Matrix (mit zeilenstufenform) oder aus der matrix ganz oben bevor du die Zeilenumformung mit K gemacht hast. Denn dort hätte man für k=0 ja auch gleich die Nullzeile . Oder schließt du den Rang für k=0 wirklich aus der ganz unteren matrix (diese ist ja aber nur für k ungleicht 0 definiert wegen der ersten Zeilenumformung) .

 Ich hoffe du verstehst was ich meine

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Deine erste Umformung war ja auch III-kI. Das ist ja nur für k ungleich 0 definiert. 

Warum ist das nur für k ≠ 0 definiert ?

Selbst wenn k = 0 ist macht man dort doch nichts verbotenes? Man darf nur nicht durch k teilen. Ich kann aber hier ruhig mit 0 multiplizieren.

Was besagt denn das minus k mal Zeile schon aus. Das wenn ich für k = 0 eben nichts abziehe und das darf ich doch.

Das der Rank 2 ist kann man hier auch aus der letzten Zeile schließen.

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Ja stimmt.Nur noch eine kurze Frage zu einer anderen ähnlichen Aufgabe.Hier steht in der zweiten Zeile r-1 und in der dritten 3-r.

Wenn ich hier einen "strengen" Gauß machen würde, müsste ich ja (r-1)*(3-r)-(3-r)*(r-1) rechnen um die 0 in der letzten Zeile zu erzeugen. Dann wäre diese Umformung ja auch definiert (da ich ja hier nicht teile).

Aber nach diesem Schritt wäre ja die dritte Zeile eine Nullzeile und die zweite unverändert. Das heißt der Rang wäre für r=1 dann ja 1 (unten die Nullzeile und in der zweiten Zeile steht r-1, also auch eine Nullzeile für r=1).

Aber man sieht ja das diese Matrix für alle r immer den Rang hat, da ja 3-r und r-1 nie zusammenfallen können. Aber nach der Zeilenumformung oben käme auch Rang 1 infrage.

Also muss an der Umformung ja irgendwas falsch sein. Aber da ich ja nicht geteilt habe weiß ich nicht was falsch daran sein soll?

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Liegt es daran das ich für r=1 die dritte Zeile mit 0 multiplizieren würde?

Und ich somit diesen Fall extra behandeln muss?

Answer 2

wenn Du nur den Rang bestimmen willst, soltest Du nicht nach dem Gauß-Schema arbeiten.

(1) Setze \( \lambda = 0 \); Du erkennst sofort den Rang.

(2) Forme im 1. Schritt so um, wie gemacht. Im nächsten Schritt subtrahiere Zeile 2 von Zeile 3. Auch hier ist der Rang sofort erkennbar.

(3) Das war's.

Grüße,

M.B.