Question

V_n ist ein regelmäßiges n-Eck mit den Eckpunkten P₁,P₂,...,P_n. Der Radius des Umkreis ist r=1. Man verbindet P₁ mit allen übrigen Eckpunkten . Es gilt

\( |\overline{P l P 2}|^{2}+|\overline{P l P 3}|^{2}+\ldots+|\overline{P l P n}|^{2}=2 n \)

Beweise die Formel für n=3 , n=4 , n=8 und n=12.

Comments

Probier mal das ganze mit dem Kosinussatz zu beweisen. Ich denke das dürfte locker machbar sein, da hier zum Glück nur schöne Winkel herauskommen, zu dem man den Cosinus in eine Wurzel umformen kann.

Ist n = 3 hat man also alles Innenwinkel von 120 Grad.

Answer 1

Also für n = 3 

1² + 1² - 2·1²·COS(120°) + (1² + 1² - 2·1²·COS(240°)) = 6

(2 - 2·COS(120°)) + (2 - 2·COS(240°)) = 6

für n = 4

(2 - 2·COS(90°)) + (2 - 2·COS(180°)) + (2 - 2·COS(270°)) = 8

für n = 8

(2 - 2·COS(45°)) + (2 - 2·COS(90°)) + (2 - 2·COS(135°)) + (2 - 2·COS(180°)) + (2 - 2·COS(225°)) + (2 - 2·COS(270°)) + (2 - 2·COS(315°)) = 16

(1 - COS(45°)) + (1 - COS(90°)) + (1 - COS(135°)) + (1 - COS(180°)) + (1 - COS(225°)) + (1 - COS(270°)) + (1 - COS(315°)) = 8

-(COS(45°) + COS(90°) + COS(135°) + COS(180°) + COS(225°) + COS(270°) + COS(315°)) = 1

für n = 12

-(COS(30°) + COS(60°) + COS(90°) + COS(120°) + COS(150°) + COS(180°) + COS(210°) + COS(240°) + COS(270°) + COS(300°) + COS(330°)) = 1

Rechnerisch ist das gezeigt.

Sehr elegant wäre es wenn man jetzt allgemein zeigen könnte das gilt

∑ _{(k=1 bis n-1)} (COS(360°/n·k)) = -1

Ich glaube mir war so das 

∑ _{(k=0 bis n-1)} (COS(360°/n·k)) = 0

Nun fehlt ja wenn k erst von 1 läuft der cos(0) und der ist 1. Wenn ich 1 also auf beiden Seiten subtrahiere kommt meine Gleichung heraus die ich zeigen wollte. Das wär doch dann perfekt.

Comments

Ich habe nun auch die Lösung für n=4, nun fehlt n=8 und n=12.

Gibt es noch andere Varianten ausser mit Cosinus?

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Oben ist es doch für 8 und 12 gezeigt und auch allgemein.